Question

如图,抛物线（b,c是常数,且c＜0）与轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧）,与轴的负半轴交于点C,点A的坐标为(－1,0)．

（1）请直接写出点OA的长度;
（2）若常数b,c满足关系式：．求抛物线的解析式．
（3）在（2）的条件下,点P是轴下方抛物线上的动点,连接PB、PC．设△PBC的面积为S．
①求S的取值范围;
②若△PBC的面积S为整数,则这样的△PBC共有多少个（直接写出结果）？

Answer 1

（1）OA=1;（2）抛物线的解析式;（3）①0＜S＜5;②+c,﹣2c;11．

试题分析：（1）由点A的坐标为(－1,0)可得：OA=1;
（2）根据抛物线过点A (－1,0),得到：b = c+,联立,求出b,c的值即可;
（3）①分两种情况进行讨论：（Ⅰ）当﹣1＜x＜0时;（Ⅱ）当0＜x＜4时;
②由0＜S＜5,S为整数,得出S=1,2,3,4．分两种情况进行讨论：（Ⅰ）当﹣1＜x＜0时,（Ⅱ）当0＜x＜4时．
试题解析：（1）OA=1;
（2）∵抛物线过点A (－1,0),
∴b=c+,
∵,
∴,
∵c＜0,
∴,
∴,
∴抛物线的解析式;
（3）①设点P坐标为（x,）．
∵点A的坐标为（﹣1,0）,点B坐标为（4,0）,点C坐标为（0,﹣2）,
∴AB=5,OC=2,直线BC的解析式为y=x﹣2．
分两种情况：
（Ⅰ）当﹣1＜x＜0时,0＜S＜S_△ACB．
∵S_△ACB=AB•OC=5,
∴0＜S＜5;
（Ⅱ）当0＜x＜4时,过点P作PG⊥x轴于点G,交CB于点F．
∴点F坐标为（x,x﹣2）,
∴PF=PG﹣GF=﹣（x²﹣x﹣2）+（x﹣2）=﹣x²+2x,
∴S=S_△PFC+S_△PFB=PF•OB=（﹣x²+2x）×4=﹣x²+4x=﹣（x﹣2）²+4,
∴当x=2时,S_最大值=4,
∴0＜S≤4．
综上可知0＜S＜5;
②∵0＜S＜5,S为整数,
∴S=1,2,3,4．
分两种情况：
（Ⅰ）当﹣1＜x＜0时,设△PBC中BC边上的高为h．
∵点A的坐标为（﹣1,0）,点B坐标为（4,0）,点C坐标为（0,﹣2）,
∴AC²=1+4=5,BC²=16+4=20,AB²=25,
∴AC²+BC²=AB²,∠ACB=90°,BC边上的高AC=．
∵S=BC•h,∴h=．
如果S=1,那么h=×1=＜,此时P点有1个,△PBC有1个;
如果S=2,那么h=×2=＜,此时P点有1个,△PBC有1个;
如果S=3,那么h=×3=＜,此时P点有1个,△PBC有1个;
如果S=4,那么h=×4=＜,此时P点有1个,△PBC有1个;
即当﹣1＜x＜0时,满足条件的△PBC共有4个;
（Ⅱ）当0＜x＜4时,S=﹣x²+4x．
如果S=1,那么﹣x²+4x=1,即x²﹣4x+1=0,
∵△=16﹣4=12＞0,∴方程有两个不相等的实数根,此时P点有2个,△PBC有2个;
如果S=2,那么﹣x²+4x=2,即x²﹣4x+2=0,
∵△=16﹣8=8＞0,∴方程有两个不相等的实数根,此时P点有2个,△PBC有2个;
如果S=3,那么﹣x²+4x=3,即x²﹣4x+3=0,
∵△=16﹣12=4＞0,∴方程有两个不相等的实数根,此时P点有2个,△PBC有2个;
如果S=4,那么﹣x²+4x=4,即x²﹣4x+4=0,
∵△=16﹣16=0,∴方程有两个相等的实数根,此时P点有1个,△PBC有1个;
即当0＜x＜4时,满足条件的△PBC共有7个;
综上可知,满足条件的△PBC共有4+7=11个．
故答案为+c,﹣2c;11．
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