Question

【题目】将一张直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，点A、B在x轴上，点C在y轴上，，且，．

（Ⅰ）如图①，求点C的坐标；

（Ⅱ）如图②，沿斜边的中线把这张纸片剪成和两个三角形，将沿直线方向平移（点A、、、B始终在同一直线上），当点与点重合时停止平移，

①如图③，在平移的过程中，与交于点E，与、分别交于点F、P，当点平移到原点时，求的长；

②在平移的过程中，当和重叠部分的面积最大时，求此时点的坐标．（直接写出结论即可）

Answer 1

【答案】（I）点C的坐标为；（Ⅱ）①，②

【解析】

（Ⅰ）利用勾股定理求出AB=10，再利用面积法求出OC即可得到答案；

（Ⅱ）①根据直角三角形斜边中线等于斜边一半及平行线的性质证得，利用勾股定理求出，即可得到答案；

②设平移的距离为x，和重叠部分面积为y，作的边上的高，设为h，根据，求出，求出，根据二次函数的性质即可得到答案.

解：（I）在中，

∵，

即，

∴．

∴点C的坐标为

（Ⅱ）①∵，

，

又∵，是斜边上的中线，

∴，即，

∴．

∴．

∴

在中，．

∴．

②

如图，设平移的距离为x，

和重叠部分面积为y，由题意得，

，，

又因为，

∴．

∴．

作的边上的高，设为h，

由平移可知．

在和中，，，

∴．

∴.

∴，．

又∵，，

∴.

又∵，，，

∴，，．

∴，

∴.

∴当时，y有最大值8.

此时.