Question

如图，已知点P是边长为5的正方形ABCD内的一点，连结PA，PB，PC，若PA=2，PB=4，∠APB=135°．
（1）将△PAB绕点B顺时针旋转90°，画出△P′CB的位置．
（2）①求PC的长；
②求△PAB旋转到△P′CB的过程中边PA所扫过区域的面积．

Answer 1

（1）如图所示：△P′CB即为所求；

（2）①连接PP′，
∵将△PAB绕点B顺时针旋转90°，
∴PB=P′B=4，A，P，P′在一条直线上，∠PP′C=∠BP'C-∠BP'P=135°-45°=90°，
∵∠APB=135°，
∴∠BPP′=45°，
∴△PBP′是等腰直角三角形，
∴PP′=4

2

，
∵P′C=PC=2，
∴PC=

(4 2 )2+22

=6；

②△PAB旋转到△P′CB的过程中边PA所扫过区域的面积为：
S_扇形ABC+S_△BCP′-S_扇形PBP′-S_△ABP=S_扇形ABC-S_扇形PBP′=

90π(52-42)

360

=

9

4

π．