题目内容
在平面直角坐标系中,抛物线经过O(0,0)、A(4,0)、E(3,-2
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(1)求此抛物线的解析式;
(2)以OA的中点M为圆心,OM长为半径作⊙M,在(1)中的抛物线上是否存在这样的点P,过点P作⊙M的切线l,且l与x轴的夹角为30°?若存在,请求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由.(注意:本题中的结果可保留根号).
分析:(1)设抛物线的一般式,将O、A、B三点坐标代入解析式,解方程组即可;
(2)存在这样的点P,设满足条件的切线l与x轴交于点B,与⊙M相切于点C,连接MC,过C作CD⊥x轴于D,在Rt△BMC中,CM为半径,∠CBM=30°,可求BM,从而可求B点坐标,在Rt△CDM中,∠CMD=60°,CM为半径,可求CD、DM,OD=OM--DM,可确定C点坐标,根据“两点法”求直线BC解析式,联立直线解析式、抛物线解析式,解方程组可求P点坐标,根据图形的对称性求另外两点坐标.
(2)存在这样的点P,设满足条件的切线l与x轴交于点B,与⊙M相切于点C,连接MC,过C作CD⊥x轴于D,在Rt△BMC中,CM为半径,∠CBM=30°,可求BM,从而可求B点坐标,在Rt△CDM中,∠CMD=60°,CM为半径,可求CD、DM,OD=OM--DM,可确定C点坐标,根据“两点法”求直线BC解析式,联立直线解析式、抛物线解析式,解方程组可求P点坐标,根据图形的对称性求另外两点坐标.
解答:解:(1)设抛物线的解析式为:y=ax2+bx+c(a≠0)
由题意得:
(1分)
解得:a=
,b=-
,c=0(2分)
∴抛物线的解析式为:y=
x2-
x(3分)
(2)存在(4分)
抛物线y=
x2-
x的顶点坐标是(2,-
),作抛物线和⊙M(如图),
设满足条件的切线l与x轴交于点B,与⊙M相切于点C
连接MC,过C作CD⊥x轴于D
∵MC=OM=2,∠CBM=30°,CM⊥BC
∴∠BCM=90°,∠BMC=60°,BM=2CM=4,
∴B(-2,0)
在Rt△CDM中,∠DCM=∠CDM-∠CMD=30°
∴DM=1,CD=
=
∴C(1,
)
设切线l的解析式为:y=kx+b(k≠0),点B、C在l上,
可得:
解得:k=
,b=
∴切线BC的解析式为:y=
x+
∵点P为抛物线与切线的交点,
由
,
解得:
,
,
∴点P的坐标为:P1(-
,
),P2(6,
);
∵抛物线y=
x2-
x的对称轴是直线x=2
此抛物线、⊙M都与直线x=2成轴对称图形
于是作切线l关于直线x=2的对称直线l′(如图)
得到B、C关于直线x=2的对称点B1、C1
直线l′满足题中要求,由对称性,
得到P1、P2关于直线x=2的对称点:P3(
,
),P4(-2,
)即为所求的点;
∴这样的点P共有4个:P1(-
,
),P2(6,
),P3(
,
),P4(-2,
).
由题意得:
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解得:a=
2
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∴抛物线的解析式为:y=
2
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(2)存在(4分)
抛物线y=
2
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设满足条件的切线l与x轴交于点B,与⊙M相切于点C
连接MC,过C作CD⊥x轴于D
∵MC=OM=2,∠CBM=30°,CM⊥BC
∴∠BCM=90°,∠BMC=60°,BM=2CM=4,
∴B(-2,0)
在Rt△CDM中,∠DCM=∠CDM-∠CMD=30°
∴DM=1,CD=
CM2-DM2 |
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设切线l的解析式为:y=kx+b(k≠0),点B、C在l上,
可得:
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解得:k=
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2
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∴切线BC的解析式为:y=
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∵点P为抛物线与切线的交点,
由
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解得:
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∴点P的坐标为:P1(-
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∵抛物线y=
2
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此抛物线、⊙M都与直线x=2成轴对称图形
于是作切线l关于直线x=2的对称直线l′(如图)
得到B、C关于直线x=2的对称点B1、C1
直线l′满足题中要求,由对称性,
得到P1、P2关于直线x=2的对称点:P3(
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∴这样的点P共有4个:P1(-
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点评:本题考查了抛物线、直线解析式的求法,圆的切线的性质,30°直角三角形的性质.
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