Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=30，AB=50．点P是AB边上任意一点，直线PE⊥AB，与边AC相交于E．点M在线段AP上，点N在线段BP上，EM=EN，sin∠EMP=

12

13

．
（1）如图1，当点E与点C重合时，求CM的长；
（2）当点E在AC边上，且若△AME∽△ENB（△AME的顶??A、M、E分别与△ENB的顶点E、N、B对应）时，求AP的长．

Answer 1

分析：（1）本题需先根据已知条件得出AC的值，再根据CP⊥AB求出CP，从而得出CM的值．
（2）本题需先设EP的值，得出则EM和MP的值，然后分①点E在AC上时，根据△AEP∽△ABC，求出AP的值，从而得出AM和BN的值，再根据△AME∽△ENB，求出a的值，得出AP的长；②点E在BC上时，根据△EBP∽△ABCC，求出AP的值，从而得出AM和BN的值，再根据△AME∽△ENB，求出a的值，得出AP的长．

解答：解（1）∵∠ACB=90°，
∴AC=

AB2-BC2

=

502-302

=40，
∵CP⊥AB，
∴

AB•CP

2

=

AC•BC

2

，
∴

30×40

2

=

50•CP

2

，
∴CP=24，
∴CM=

CP

sin∠EMP

=

24

12 13

=26；

（2）①当点E在AC上时，如图2，设EP=12a，则EM=13a，MP=NP=5a，
∵△AEP∽△ABC，
∴

AP

AC

=

EP

BC

，
∴

AP

40

=

12a

30

，
∴AP=16a，
∴AM=11a，
∴BN=50-16a-5a=50-21a，
∵△AME∽△ENB，
∴

AM

EN

=

ME

NB

，
∴

11a

13a

=

13a

50-21a

，
∴a=

11

8

，
∴AP=16×

11

8

=22，

②当点E在BC上时，如图，设EP=12a，则EM=13a，MP=NP=5a，

∵△EBP∽△ABC，
∴

BP

BC

=

EP

AC

，
即

BP

30

=

12a

40

，
解得BP=9a，
∴BN=9a-5a=4a，AM=50-9a-5a=50-14a，
∵△AME∽△ENB，
∴

AM

EN

=

ME

MB

，
即

50-14a

13a

=

13a

4a

，
解得a=

8

9

，
∴AP=50-9a=50-9×

8

9

=42．
所以AP的长为：22或42．

点评：本题主要考查了相似三角形、勾股定理、解直角三角形的判定和性质，在解题时要注意知识的综合应是解本题的关键．