题目内容

【题目】如图,AB⊙O的直径,CBD的中点,CE⊥AB,垂足为EBDCE于点F

1】求证:CF=BF

2】若AD=2⊙O的半径为3,求BC的长

【答案】

1】连结AC,如图

∵C是弧BD的中点 ∴∠BDC=∠DBC

∠BDC=∠BAC

在三角形ABC中,∠ACB=90°CE⊥AB∴ ∠BCE=∠BAC

∠BCE=∠DBC

∴ CF=BF 因此,CF=BF3

2】证法一:作CG⊥AD于点G

∵C是弧BD的中点 ∴∠CAG=∠BAC

AC∠BAD的角平分线.

∴ CE=CGAE="AG" ,在Rt△BCERt△DCG中,CE="CG" CB=CD

∴Rt△BCE≌Rt△DCG∴BE="DG" ∴AE=AB-BE=AG=AD+DG6-BE=2+DG

2BE=4,即BE=2 BCE∽△BAC

(舍去负值),7

2)证法二:∵AB⊙O的直径,CE⊥AB

∴∠BEF=

中,

,则

利用勾股定理得:

∵△EBC∽△ECA,即则

【解析】试题分析:连接AC,根据已知条件利用等角对等边可以得到CF=BF;作CG⊥AD于点G,先利用HL判定Rt△BCE≌Rt△DCG,推出BE=DG/span>,根据边之间的关系可求得BE的值,再根据相似三角形的判定得到△BCE∽△BAC,根据相似三角形的对应边成比例,可得到BC2=BEAB,这样便求得BC的值,注意负值要舍去.

试题解析:(1)连接AC,如图

∵C是弧BD的中点

∴∠BDC=∠DBC

∵∠BDC=∠BAC

△ABC中,∠ACB=90°CE⊥AB

∴∠BCE=∠BAC

∠BCE=∠DBC

∴CF=BF

2)作CG⊥AD于点G

∵C是弧BD的中点

∴∠CAG=∠BAC

AC∠BAD的角平分线.

∴CE=CGAE=AG

Rt△BCERt△DCG中,

CE=CGCB=CD

∴Rt△BCE≌Rt△DCGHL

∴BE=DG

∴AE=AB-BE=AG=AD+DG

6-BE=2+DG

∴2BE=4,即BE=2

∵△BCE∽△BAC

∴BC2=BEAB=12

BC=±2(舍去负值)

BC=2

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