题目内容
【题目】某公路隧道横截面为抛物线,其最大高度为6米,底部宽度OM为12米. 现以O点为原点,OM所在直线为x轴建立直角坐标系.
(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标;
(2)求这条抛物线的解析式;
(3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD- DC- CB,使C、D点在抛物线上,A、B点在地面OM上,则这个“支撑架”总长的最大值是多少?
【答案】(1) M(12,0) ,P(6,6);
(2);
(3)当m=3时,AD+DC+CB有最大值为15米.
【解析】试题分析:(1)根据所建坐标系易求M、P的坐标;
(2)可设解析式为顶点式,把O点(或M点)坐标代入求待定系数求出解析式;
(3)总长由三部分组成,根据它们之间的关系可设A点坐标为(m,0),用含m的式子表示三段的长,再求其和的表达式,运用函数性质求解.
试题解析:(1)M(12,0),P(6,6).
设抛物线解析式为:
y=a(x-6)2+6
∵抛物线y=a(x-6)2+6经过点(0,0)
∴0=a(0-6)2+6,即a=-
∴抛物线解析式为:y=-(x-6)2+6,即y=-
x2+2x.
设A(m,0),则B(12-m,0),C(12-m,-m2+2m),D(m,-
m2+2m).
∴“支撑架”总长AD+DC+CB=(-m2+2m)+(12-2m)+(-
m2+2m)
=-m2+2m+12
=-(m-3)2+15.
当m=3时,有最大值为15.
故这个“支撑架”总长的最大值是15.
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