Question

如图，已知点E在△ABC的边AB上，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，且D在以AE为直径的⊙O上．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）已知∠B=28°，⊙O的半径为6，求线段AD的长．（结果精确到0.1）

Answer 1

（1）证明：连接OD，
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC，
∵OA=OD，∴∠BAD=∠ODA，
∴∠ODA=∠DAC，
∴AC∥OD，
∵∠C=90°，∴∠ODC=90°，
即BC是⊙O的切线；

（2）解：连接DE．
∵∠B=28°，∴∠BAC=62°，
即∠BAD=31°，
∵AE为⊙O的直径，∴∠ADE=90°，
∵OA=6，∴AE=12，
∴cos∠DAE=，
∴AD=AE•cos31°=12×0.86≈10.3．
分析：（1）连接OD，可证得AC∥OD，即可得出∠ODC=90°，即BC是⊙O的切线；
（2）连接DE，在直角三角形ADE中，利用∠BAD的余弦值求出线段AD的长．
点评：本题考查了切线的判定和性质以及解直角三角形，是基础知识要熟练掌握．