Question

已知y₁=ax²+bx+c，y₂=ax+b．（其中a＞0），若当-1≤x≤1时，总有|y₁|≤1．
（1）证明：当-1≤x≤1时，|c|≤1；
（2）若当-1≤x≤1时，y₂的最大值为2．求y₁的表达式．

Answer 1

解：（1）由-1≤x≤1时，总有|y₁|≤1．
令x=0，得|c|≤1；（12分）

（2）在y₁=ax²+bx+c中．令x=1得-1≤a+b+c≤1①
∵y₂=ax+b．（其中a＞0）的最大值为2
∴a+b=2代入①得-1≤2+c≤1-3≤c≤-1
而由（1）知-1≤c≤1
∴c=-1 （8分）
?y₁=ax²+bx-1?x=0时，y₁取得最小值为-1
∴故必有b=0．?a=2?y₁=2x²-1．（12分）
分析：（1）取-1≤x≤1内的特殊值x=0，即可得到结论|c|≤1；
（2）根据二次函数y₂的最大值为2求得a+b=2，由定义域的取值范围“-1≤x≤1”知当x=1时，-1≤a+b+c≤1①，所以联合（1）中的c的取值范围求得c=-1；然后由二次函数y₁的最小值求得b=0，从而知a=2，将a、b、c的值代入二次函数y₁=ax²+bx+c，即可求得y₁的表达式．
点评：本题主要考查了二次函数的综合题．解答该题时，在定义域内取特殊值来求二次函数的系数，即利用待定系数法求得二次函数的解析式．