Question

【题目】如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，若∠BAC=∠CAM，过点C作直线l垂直于射线AM，垂足为点D．

（1）试判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若直线l与AB的延长线相交于点E，⊙O的半径为3，并且∠CAB=30°．求图中所示阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】（1）CD与⊙O相切．理由见解析；（2）．

【解析】

试题分析：（1）连结OC，如图，由∠1=∠2，∠2=∠3得∠1=∠3，则可判断OC∥AD，由于CD⊥AD，所以OC⊥CD，于是根据切线的判定定理可得CD为⊙O的切线；

（2）利用三角形外角性质可得到∠EOC=60°，而OC⊥CD，则∠OCE=90°，在Rt△OCE中利用∠EOC的正切可计算出CE=3，然后三角形面积公式和扇形面积公式，利用S阴影部分=S△OOE-S扇形COB进行计算即可．

试题解析：（1）CD与⊙O相切．理由如下：

连结OC，如图，

∵OA=OC，

∴∠1=∠2，

∵∠2=∠3，

∴∠1=∠3，

∴OC∥AD，

而CD⊥AD，

∴OC⊥CD，

∴CD为⊙O的切线；

（2）∵∠EOC=∠1+∠2，∠2=30°，

∴∠EOC=60°，

∵OC⊥CD，

∴∠OCE=90°，

在Rt△OCE中，∵tan∠EOC=，

∴CE=3tan60°=3，

∴S阴影部分=S△OOE-S扇形COB

=

=．