Question

如图，矩形ABCD中，E是BC边上的一点，连接AE、DE．△DCE沿DE翻折后，点C恰好落在AE上，记为点F．
（Ⅰ）求证：△ADF≌△EAB；
（Ⅱ）若AD=10，tan∠EDF=

1

3

，求矩形ABCD的面积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据翻折不变性得到△DCE≌△DFE，根据全等三角形的性质得到DC=DF，∠DFE=∠C=90°，再根据矩形的性质得到∠DAE=∠AEB，AB=DF，从而得到△ADF≌△EAB；
（Ⅱ）根据tan∠EDF=

EF

EF

=

1

3

，设EF=x，则DF=3x，从而用含x的代数式表示出AF，再在Rt△ADF中，根据勾股定理求出x的长．

解答：（Ⅰ）证明：∵△DCE沿DE翻折得到△DFE，
∴△DCE≌△DFE，
∴DC=DF，∠DFE=∠C=90°，…（2分）
又矩形ABCD中AD∥BC，AB=CD，∠B=90．
∴∠DAE=∠AEB，AB=DF．…（4分）
在△ADF与△EAB中，

∠B=∠DFA=90． ∠DAE=∠AEB DF=AB

，
∴△ADF≌△EAB．…（6分）
（Ⅱ）Rt△DFE中，tan∠EDF=

EF

DF

=

1

3

，
设EF=x，则DF=3x，…（7分）
∴AF=AE-EF=AD-EF=10-x，
在Rt△ADF中，AF²+DF²=AD²，
∴（10-x）²+（3x）²=10²，
解得x=2．…（10分）
∴DC=DF=3x=6，
∴S_矩形ABCD=10×6=60．…（12分）

点评：本题考查了翻折变换、全等三角形的判定与性质、勾股定理、矩形的性质、锐角三角形的性质，综合性较强．