Question

【题目】如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0）、点B（3，0）、点C（4，y1），若点D（x2，y2）是抛物线上任意一点，有下列结论：①二次函数y=ax2+bx+c的最小值为﹣4a；②若﹣1≤x2≤4，则0≤y2≤5a；③若y2＞y1， 则x2＞4；④一元二次方程cx2+bx+a=0的两个根为﹣1和其中正确结论的序号是（ ）

A.①④B.①②C.②③D.①③④

Answer 1

【答案】A

【解析】

根据A、B两点写出抛物线的交点式化简得，再配成顶点式，即可判断①；当x=4时，y=5a，根据二次函数的性质，即可判断②；利用二次函数的对称性及增减性即可判断③；由可知b=－2a，c=－3a，则cx2+bx+a=0可化为－3a x2－2a x+a=0，a＞0，解方程即可判断④．

解：抛物线解析式化成交点式为，

即，

配成顶点式得，

∴当x=1时，二次函数有最小值为－4a，所以①正确；

当x=4时，，

∴当﹣1≤x2≤4，－4a≤y2≤5a，所以②错误；

∵C点的坐标为（4，5a），C点关于直线x=1的对称点为（－2，5a），

∴若y2＞y1，则 x2＞4或x2＜－2，所以③错误；

由可知b=－2a，c=－3a，则cx2+bx+a=0可化为－3a x2－2a x+a=0，

∵a＞0，

∴方程－3a x2－2a x+a=0整理得： 3a x2+2a x－a=0，

解得，，

所以④正确．

所以①④正确．

故答案选：A．