题目内容

【题目】已知O为坐标原点,抛物线y1=ax2+bx+c(a0)与x轴相交于点A(x1,0),B(x2,0),与y轴交于点C,且O,C两点间的距离为3,x1x2<0,|x1|+|x2|=4,点A,C在直线y2=-3x+t上.

(1)求点C的坐标;

(2)当y1随着x的增大而增大时,求自变量x的取值范围;

(3)将抛物线y1向左平移n(n>0)个单位,记平移后y随着x的增大而增大的部分为P,直线y2向下平移n个单位,当平移后的直线与P有公共点时,求2n2-5n的最小值.

【答案】(1)(2) 若c=3,当y随x增大而增大时,x-1;若c=-3,当y随x增大而增大时,x1;

【解析】

试题分析:(1)利用y轴上点的坐标性质表示出C点坐标,再利用O,C两点间的距离为3求出即可;

(2)分别利用若C(0,3),即c=3,以及若C(0,-3),即c=-3,得出A,B点坐标,进而求出函数解析式,进而得出答案;

(3)利用若c=3,则y1=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,y2=-3x+3,得出y1向左平移n个单位后,则解析式为:y3=-(x+1+n)2+4,进而求出平移后的直线与P有公共点时得出n的取值范围,若c=-3,则y1=x2-2x-3=(x-1)2-4,y2=-3x-3,y1向左平移n个单位后,则解析式为:y3=(x-1+n)2-4,进而求出平移后的直线与P有公共点时得出n的取值范围,进而利用配方法求出函数最值.

试题解析:(1)令x=0,则y=c,

故C(0,c),

OC的距离为3,

|c|=3,即c=±3,

C(0,3)或(0,-3);

(2)x1x2<0,

x1,x2异号,

若C(0,3),即c=3,

把C(0,3)代入y2=-3x+t,则0+t=3,即t=3,

y2=-3x+3,

把A(x1,0)代入y2=-3x+3,则-3x1+3=0,

即x1=1,

A(1,0),

x1,x2异号,x1=1>0,x2<0,

|x1|+|x2|=4,

1-x2=4,

解得:x2=-3,则B(-3,0),

代入y1=ax2+bx+3得,

解得:

y1=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,

则当x-1时,y随x增大而增大.

若C(0,-3),即c=-3,

把C(0,-3)代入y2=-3x+t,则0+t=-3,即t=-3,

y2=-3x-3,

把A(x1,0),代入y2=-3x-3,

则-3x1-3=0,

即x1=-1,

A(-1,0),

x1,x2异号,x1=-1<0,x2>0

|x1|+|x2|=4,

1+x2=4,

解得:x2=3,则B(3,0),

代入y1=ax2+bx+3得,

解得:

y1=x2-2x-3=(x-1)2-4,

则当x1时,y随x增大而增大,

综上所述,若c=3,当y随x增大而增大时,x-1;若c=-3,当y随x增大而增大时,x1;

(3)若c=3,则y1=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,y2=-3x+3,

y1向左平移n个单位后,则解析式为:y3=-(x+1+n)2+4,

则当x-1-n时,y随x增大而增大,

y2向下平移n个单位后,则解析式为:y4=-3x+3-n,

要使平移后直线与P有公共点,则当x=-1-n,y3y4

即-(-1-n+1+n)2+4-3(-1-n)+3-n,

解得:n-1,

n>0,n-1不符合条件,应舍去;

若c=-3,则y1=x2-2x-3=(x-1)2-4,y2=-3x-3,

y1向左平移n个单位后,则解析式为:y3=(x-1+n)2-4,

则当x1-n时,y随x增大而增大,

y2向下平移n个单位后,则解析式为:y4=-3x-3-n,

要使平移后直线与P有公共点,则当x=1-n,y3y4

即(1-n-1+n)2-4-3(1-n)-3-n,

解得:n1,

综上所述:n1,

2n2-5n=2(n-2-

当n=时,2n2-5n的最小值为:-

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