题目内容
![](http://thumb.1010pic.com/pic3/upload/images/201305/77/69363dbb.png)
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(1)求点C的点坐标.
(2)若点P是线段BC延长线上一动点,连接AP,作线段AP的垂直平分线,交AP于点D,交y轴于点E,连接EA,EP,EC,EC交AP于点F.
①点P在移动过程中,∠AEP的角度是否发生变化?为什么?
②若S△AEF-S△CFP=2
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分析:(1)由一次函数y=
x+3
就可以求出A的坐标,根据等腰三角形的性质就可以求出OA=OC,就可以求出C的坐标;
(2)如图1,作EM⊥AB于点M,EN⊥BC于N,证明Rt△AME≌Rt△PNE就可以得出∠AEM=∠PEN,根据四边形的内角和就可以求出∠MEN的度数,进而求出∠AEP的度数;
(3)如图2,作PC⊥x轴于点G,在Rt△PGC中,PC=t,CG=
,PG=
t,由勾股定理就可以求出BE的值,进而求出OE,运用三角形的面积建立等式求出P的坐标,由待定系数法就可以求出结论.
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3 |
(2)如图1,作EM⊥AB于点M,EN⊥BC于N,证明Rt△AME≌Rt△PNE就可以得出∠AEM=∠PEN,根据四边形的内角和就可以求出∠MEN的度数,进而求出∠AEP的度数;
(3)如图2,作PC⊥x轴于点G,在Rt△PGC中,PC=t,CG=
1 |
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| ||
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解答:解:(1)如图1∵一次函数数y=
x+3
的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B.
当y=时,x=-3,当x=0时,y=3
,![](http://thumb.1010pic.com/pic3/upload/images/201312/159/5d49c0f0.png)
∴A(-3,0),B(0,3 )
∴OA=3.
∵AB=BC,
∴OA=OC=3,
∴C(3,0).
答:C点的坐标为(3,0);
(2)①∠AEP=120°
理由:∵y轴⊥AC,OA=OC.
∴AB=BC
在Rt△AOB中,tan∠BAO=
=
,
∴∠BAC=60°
∴△ABC是等边三角形;
∴AC=BC=AB=6.
如图1,作EM⊥AB于点M,EN⊥BC于N,
∴∠AME=∠PNE=90°.
∴∠MEN=120°
∵y轴垂直平分AC,△ABC是等边三角形,
∴EA=EC,∠BEA=∠BEC=
∠AEC,∠EBP=30°,
∴EM=EN.
∴∠BEM=60°.
∵ED垂直平分AP,
∴EA=EP,
∴EA=EC=EP,
∴EN垂直平分CP,
∴CN=
PC.
在Rt△AME和Rt△PNE中,
,
∴Rt△AME≌Rt△PNE(HL),
∴∠AEM=∠PEN.
∵∠AEM+∠AEN=120°,
∴∠PEN+∠AEN=∠AEP=120°
(3)如图2,作PC⊥x轴于点G,
在Rt△PGC中,PC=t,CG=
,PG=
t,
∴CH=
t,BH=6+
t.
在Rt△BEH 中,
=
∴
=
,
∴EH=
(6+
t),
由勾股定理,得
BE=
t+4
,![](http://thumb.1010pic.com/pic3/upload/images/201312/159/a0621129.png)
EO=BE-BO=
t+
.
∵S△AEF-S△CFP=2
,
∴S△AEF+S△AFC-(S△CFP+S△AFC)=2
∴S△EAC-S△PAC=2
.
∵S△EAC=
AC•EO=
×6×(
t+
)=
t+3
,
S△PAC=
AC•PG=
×6×
t=
t,
∴
t+3
-
t=2
,
∴t=2.
∴PG=
,CG=1,
∴OG=4,
∴P(4,-
).
设直线AP的解析式为y=kx+b,由题意,得
,
解得:
,
∴直线AP的解析式为:y=-
x-
.
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当y=时,x=-3,当x=0时,y=3
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![](http://thumb.1010pic.com/pic3/upload/images/201312/159/5d49c0f0.png)
∴A(-3,0),B(0,3 )
∴OA=3.
∵AB=BC,
∴OA=OC=3,
∴C(3,0).
答:C点的坐标为(3,0);
(2)①∠AEP=120°
理由:∵y轴⊥AC,OA=OC.
∴AB=BC
在Rt△AOB中,tan∠BAO=
BO |
AO |
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∴∠BAC=60°
∴△ABC是等边三角形;
∴AC=BC=AB=6.
如图1,作EM⊥AB于点M,EN⊥BC于N,
∴∠AME=∠PNE=90°.
∴∠MEN=120°
∵y轴垂直平分AC,△ABC是等边三角形,
∴EA=EC,∠BEA=∠BEC=
1 |
2 |
∴EM=EN.
∴∠BEM=60°.
∵ED垂直平分AP,
∴EA=EP,
∴EA=EC=EP,
∴EN垂直平分CP,
∴CN=
1 |
2 |
在Rt△AME和Rt△PNE中,
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∴Rt△AME≌Rt△PNE(HL),
∴∠AEM=∠PEN.
∵∠AEM+∠AEN=120°,
∴∠PEN+∠AEN=∠AEP=120°
(3)如图2,作PC⊥x轴于点G,
在Rt△PGC中,PC=t,CG=
1 |
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2 |
∴CH=
1 |
2 |
1 |
2 |
在Rt△BEH 中,
EH |
BH |
| ||
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∴
EH | ||
6+
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| ||
3 |
∴EH=
| ||
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由勾股定理,得
BE=
| ||
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![](http://thumb.1010pic.com/pic3/upload/images/201312/159/a0621129.png)
EO=BE-BO=
| ||
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∵S△AEF-S△CFP=2
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∴S△AEF+S△AFC-(S△CFP+S△AFC)=2
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∴S△EAC-S△PAC=2
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∵S△EAC=
1 |
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S△PAC=
1 |
2 |
1 |
2 |
| ||
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| ||
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∴
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∴t=2.
∴PG=
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∴OG=4,
∴P(4,-
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设直线AP的解析式为y=kx+b,由题意,得
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解得:
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∴直线AP的解析式为:y=-
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点评:本题考查了一次函数的解析式的性质的运用,待定系数法求一次函数的解析式的运用,勾股定理的运用,等边三角形的性质的运用,特殊角的三角形函数值的运用,解答时巧妙运用三角形的面积之间的等量关系建立方程求出点P的坐标是关键.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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