题目内容
【题目】如图,△ABC中,CA=CB,∠ACB=108°,BD平分∠ABC交AC于D,求证:AB=AD+BC.
【答案】证明见解析.
【解析】
证明线段的和差倍分问题常用截长补短的方法.在线段AB上截取BE=BC,连接DE.则只需证明AD=AE即可.结合角度证明∠ADE=∠AED.
证明:在线段BA上截取BE=BC,连接DE.
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠EBD=∠ABC.
在△CBD和△EBD中 ,
∴△CBD≌△EBD(SAS),
∴∠BED=∠ACB=108°,∠CDB=∠EDB.
又∵AB=AC,∠ACB=108°,∠CAB=∠ABC=×(180°-108°)=36°,
∴∠CBD=∠EBD=18°.
∴∠CDB=∠EDB=180°-18°-108°=54°.
∴∠ADE=180°-∠CDB-∠EDB=180°-54°-54°=72°.
∴∠DEA=180°-∠DEB=180°-108°=72°.
∴∠ADE=∠AED.
∴AD=AE.
∴AB=BE+EA=CB+AD.
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