Question

【题目】如图 1，在平面直角坐标系中，点 O 是坐标原点，四边形 ABCO 是菱形，点 A 的坐标为（－3，4），点 C 在 x 轴的正半轴上，直线 AC 交 y 轴于点 M，AB 边交 y 轴于点 H．

（1）求直线 AC 的解析式；

（2）连接 BM，如图 2，动点 P 从点 A 出发，沿折线 ABC 方向以 2 个单位／秒的速度向终点 C 匀速运动，设△PMB 的面积为 S（S≠0），点 P 的运动时间为 t 秒，求 S 与 t 之间的函数关系式（要求写出自变量 t 的取值范围）；

（3）在（2）的条件下，当 t 为何值时，∠MPB 与∠BCO 互为余角，并求此时直线 OP 与直线 AC 所夹锐角的正切值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）当t＝时，∠MPB与∠BCO互为余角，直线OP与直线AC所夹锐角的正切值为；当t＝时，∠MPB与∠BCO互为余角，直线OP与直线AC所夹锐角的正切值为1．

【解析】

（1）已知A点的坐标，就可以求出OA的长，根据OA＝OC，就可以得到C点的坐标，根据待定系数法就可以求出函数解析式；

（2）点P的位置应分P在AB和BC上两种情况进行讨论：当P在AB上时，S＝BPMH；当P在BC上时，S＝P1BBM，据此面积就可以表示出来；

（3）分两种情况进行讨论，当P点在AB边上运动时：设OP与AC相交于点Q连接OB交AC于点K，证明△AQP∽△CQO，根据相似三角形的对应边的比相等，以及勾股定理可以求出AQ，QC的长，在直角△OHB中，根据勾股定理，可以得到tan∠OQC．当P点在BC边上运动时，可证△BHM∽△PBM和△PQC∽△OQA，根据相似三角形的对应边的比相等，就可以求出OK，KQ就可以求出．

解：（1）过点A作AE⊥x轴垂足为E，如图（1），

∵A（3，4），

∴AE＝4 ，OE＝3，

∴OA＝＝5，

∵四边形ABCO为菱形，

∴OC＝OA＝5，

∴C（5，0）

设直线AC的解析式为：y＝kx＋b(k≠0)，

∴，解得：，

∴直线AC的解析式为：；

（2）由（1）得M点坐标为（0，），

∴OM＝，

如图（1），当P点在AB边上运动时，

由题意得OH＝4，

∴HM＝OHOM＝4=，

∴S＝BPMH＝（52t）·=t+（0≤t＜），

当P点在BC边上运动时，记为P1，

∵∠OCM＝∠BCM，CO＝CB，CM＝CM，

∴△OMC≌△BMC，

∴OM＝BM＝，∠MOC＝∠MBC＝90°，

∴S＝P1BBM＝（2t5）·=t（＜t≤5），

综上所述： ；

（3）设OP与AC相交于点Q连接OB交AC于点K，

∵∠AOC＝∠ABC，

∴∠AOM＝∠ABM，

∵∠MPB＋∠BCO＝90°，∠BAO＝∠BCO，∠BAO＋∠AOH＝90°，

∴∠MPB＝∠AOH，

∴∠MPB＝∠MBH．

当P点在AB边上运动时，如图（2），

∵∠MPB＝∠MBH，

∴PM＝BM，

∵MH⊥PB，

∴PH＝HB＝2，

∴PA＝AHPH＝1，

∴t＝，

∵AB∥OC，

∴∠PAQ＝∠OCQ，

∵∠AQP＝∠CQO，

∴△AQP∽△CQO，

∴，

在Rt△AEC中，AC＝，

∴AQ＝，QC＝，

在Rt△OHB中，OB＝，

∵AC⊥OB，OK＝KB，AK＝CK，

∴OK＝，AK＝KC＝，

∴QK＝AKAQ＝，

∴tan∠OQC＝；

当P点在BC边上运动时，如图（3），

∵∠BHM＝∠PBM＝90°，∠MPB＝∠MBH，

∴tan∠MPB＝tan∠MBH，

∴，即，

∴BP＝，

∴t＝，

∴PC＝BCBP＝5＝．

由PC∥OA，同理可证△PQC∽△OQA，

∴，

∴CQ＝AC＝，

∴QK＝KCCQ＝，

∵OK＝，

∴tan∠OQK＝，

综上所述，当t＝时，∠MPB与∠BCO互为余角，直线OP与直线AC所夹锐角的正切值为；当t＝时，∠MPB与∠BCO互为余角，直线OP与直线AC所夹锐角的正切值为1．

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