Question

（1）已知实数x、y满足（x²+y²）（x²-1+y²）=12，则x²+y²的值为

4

．
（2）已知方程x²-5x+2=0的一根为a，那么a+

2

a

的值为

5

．
（3）已知关于x的方程x²-

2k+4

x+k=0有两个不相等的实数解，化简|-k-2|+

k2-4k+4

=

4

．
（4）已知一直角三角形的三边为a、b、c，∠B=90°，那么关于x的方程a（x²-1）-2cx+b（x²+1）=0的根的情况为

方程有两个相等的实数根

．
（5）如果关于x的方程（m-2）x²-2（m-1）x+m=0只有一个实数根，那么方程mx²-（m+2）x+（4-m）=0的根的情况是

方程有两个相等的实数根

．

Answer 1

分析：（1）把（x²+y²）看成一个整体，然后利用因式分解法解方程；
（2）把x=a代入已知方程，再在方程的两边同时除以a，然后来求代数式的值；
（3）由根的判别式求得k的取值范围，然后去绝对值和化简二次根式；
（4）根据直角三角形的勾股定理求得关于x的方程a（x²-1）-2cx+b（x²+1）=0的根的判别式的符号；
（5）需要分类讨论：①由关于x的方程（m-2）x²-2（m-1）x+m=0只有一个实数根，则它为一元一次方程，所以m-2=0，即m=2；把m=2代入方程mx²-（m+2）x+（4-m）=0得2x²-4x+2=0，并且可计算出△=0，由此可判断根的情况；
②当m-2≠0时，根据关于x的方程（m-2）x²-2（m-1）x+m=0的根的判别式求得m的值；然后再来判定方程mx²-（m+2）x+（4-m）=0的根的情况．

解答：解：（1）∵（x²+y²）（x²-1+y²）=12，
∴（x²+y²）²-（x²+y²）-12=0，
即（x²+y²-4）（x²+y²+3）=0，
∴x²+y²=4；
故填：4；

（2）∵方程x²-5x+2=0的一根为a，
∴a²-5a+2=0，
∴a+

2

a

-5=0，
即a+

2

a

=5；
故填：5；

（3）∵关于x的方程x²-

2k+4

x+k=0有两个不相等的实数解，
∴△=（-

2k+4

）²-4×1×k=2k+4-4k=-2k+4＞0，
∴k＜2，
∴原式=k+2+2-k=4；

（4）∵一直角三角形的三边为a、b、c，∠B=90°，
∴a²+c²=b²，
∵a（x²-1）-2cx+b（x²+1）=0，
即（a+b）x²-2cx+b-a）=0，
∴△=（-2c）²-4×（a+b）（a-b）=4（c²-a²-b²）=0，
∴方程有两个相等的实数根；
故填：方程有两个相等的实数根；

（4）①当m-2=0，即m=2时，方程mx²-（m+2）x+（4-m）=0变为：2x²-4x+2=0，
△=4²-4×2×2=0，
所以方程有两个相等的实数根；
②当m-2≠0时，关于x的方程（m-2）x²-2（m-1）x+m=0的根的判别式为：
△₁=4（m-1）²-4（m-2）m=4＞0，
关于x的方程（m-2）x²-2（m-1）x+m=0有2个不相等是实数根，
与已知矛盾．
故填：方程有两个相等的实数根．

点评：本题考查了根的判别式、勾股定理、一元二次方程的解定义等知识点．
总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0?方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0?方程没有实数根．