题目内容
【题目】如图,对称轴为x=1的抛物线经过A(﹣1,0),B(4,5)两点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)P为直线AB上的动点,过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q.
①当PQ=6时,求点P的坐标;
②是否存在点P,使以A、P、Q为顶点的三角形为等腰三角形?若存在,直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)y=x2﹣2x﹣3;(2)①当PQ=6时,点P的坐标(1,2),(2,3),(﹣2,﹣1),(5,6);②存在点P,使以A、P、Q为顶点的三角形为等腰三角形,点P的坐标为P(4+,5+)或(4﹣,5﹣)或(4,5)或(3.4).
【解析】
试题分析:(1)根据题意确定抛物线与x轴的另一个交点,然后根据待定系数法即可求得;
(2)①先求得直线AB的解析式,设P(m,m+1),Q(m,m2﹣2m﹣3),则PQ=|m+1﹣m2+2m+3|=6,然后分m2﹣3m﹣4=﹣6或m2﹣3m﹣4=6两种情况求得m的值,从而求得P点的坐标;
②由勾股定理,得PA2=(m+1)2+(m+1)2;PQ2=[m+1﹣(m2﹣2m﹣3)]2,AQ2=(m+1)2+(m2﹣2m﹣3)2.然后分PA=PQ、PA=AQ、AQ=AP三种情况列出关于m的方程,解方程求得m的值,即可求得P点的坐标.
解:(1)对称轴为x=1的抛物线经过A(﹣1,0),得C(3,0),
设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,将A、B、C点坐标代入,得
,
解得,
设抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3;
(2)①直线AB的解析式为y=x+1,设P(m,m+1),Q(m,m2﹣2m﹣3),
PQ=|m+1﹣m2+2m+3|=6,
当m2﹣3m﹣4=﹣6,
解得m=1,m=2,
∴P(1,2)或(2,3);
当m2﹣3m﹣4=6,解得m=﹣2,m=5,
∴P(﹣2,﹣1)或(5,6);
综上所述:当PQ=6时,点P的坐标(1,2),(2,3),(﹣2,﹣1),(5,6);
(3)∵A(﹣1,0),P(m,m+1),Q(m,m2﹣2m﹣3),由勾股定理,得
PA2=(m+1)2+(m+1)2;PQ2=[m+1﹣(m2﹣2m﹣3)]2,AQ2=(m+1)2+(m2﹣2m﹣3)2.
①当PA=PQ时,(m+1)2+(m+1)2=[m+1﹣(m2﹣2m﹣3)]2,化简,得(m+1)2[(m﹣4)2﹣2]=0.
于是,得(m﹣4)2﹣2=0,m+1=0.
解得m1=4+,m2=4﹣,m3=﹣1,
∵当m=﹣1时,P点与A点重合,
∴P1(4+,5+),P2(4﹣,5﹣);
②当PA=AQ时,(m+1)2+(m+1)2=(m+1)2+(m2﹣2m﹣3)2,化简,得(m+1)2(m﹣3﹣1)2=0,
于是,得(m﹣4)2=0,解得m4=4,m5=﹣1,
∴P3(4,5);
③当AQ=AP时,(m+1)2+(m2﹣2m﹣3)2=[m+1﹣(m2﹣2m﹣3)]2,化简,得(m+1)2[(m﹣4)2﹣2]=0.
于是,得(m2﹣2m﹣3)2=0.m+1=0,
解得m6=3,m7=﹣1,
∴P(3,4);
综上,存在点P,使以A、P、Q为顶点的三角形为等腰三角形,点P的坐标为P(4+,5+)或(4﹣,5﹣)或(4,5)或(3.4).