题目内容

【题目】如图,点O在边长为8的正方形ABCD的AD边上运动(4<C)A<8),以O为圆心,OA长为半径作圆,交CD于点E,连接OE、AE,过点E作直线EF交BC于 点F,且CEF=2DAE.

(1)求证:直线EF为O的切线;

(2)在点O的运动过程中,设DE=x,解决下列问题:

求OD·CF的最大值,并求此时半径的长;

试猜想并证明CEF的周长为定值.

【答案】(1)证明见解析;(2)16,5;证明见解析.

【解析】

试题分析:(1)由OA=OB得OAE=OEA,则根据三角形外角性质得DOE=2DAE,由于CEF=2DAE,则CEF=DOE,加上DOE+DEO=90°,则CEF+DEO=90°,所以OEF=90°,于是可根据切线的判定定理得到直线EF为O的切线;

(2)由于CEF=DOE,根据三角形相似的判定得到RtDOERtCEF,利用相似比得ODCF=DEEC=x(8-x),配方得ODCF=-(x-4)2+16,然后根据二次函数的性质得当x=4时,ODCF的值最大,最大值为16;设此时半径为R,则OA=OE=R,OD=8-R,在RtODE中,根据勾股定理可计算出此时半径为5;

(3)在RtODE中,利用勾股定理得到(8-OE)2+x2=OE2,则OE=4+,OD=8-OE=4-,再利用RtDOERtCEF得到相似比 ,即 ,可计算得CF=,EF=,然后根据三角形周长的定义得到CEF的周长得到CE+CF+EF=8-x++,再进行分式的化简运算即可得到CEF的周长为16.

试题解析:(1)证明:OA=OB,

∴∠OAE=OEA,

∴∠DOE=2DAE,

∵∠CEF=2DAE,

∴∠CEF=DOE,

四边形ABCD为正方形,

∴∠D=90°

∴∠DOE+DEO=90°

∴∠CEF+DEO=90°

∴∠OEF=90°

OEEF,

直线EF为O的切线;

(2)解:∵∠CEF=DOE,

RtDOERtCEF,

ODCF=DEEC,

DE=x,

EC=8-x,

ODCF=x(8-x)

=-x2+8x

=-(x-4)2+16,

当x=4时,ODCF的值最大,最大值为16,

设此时半径为R,则OA=OE=R,OD=8-R,

在RtODE中,

OD2+DE2=OE2

(8-R)2+42=R2,解得R=5,

即此时半径为5;

(3)猜想CEF的周长为16.

在RtODE中,OD2+DE2=OE2,即(8-OE)2+x2=OE2

OE=4+

OD=8-OE=4-

RtDOERtCEF,

,即

CF=,EF=

∴△CEF的周长=CE+CF+EF= CE+CF+EF=8-x++=16.

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