题目内容
【题目】如图，已知四边形ABCD是平行四边形，AC为对角线，∠DAC=30°，∠ACD=90°，AD=8，点M为AC的中点，动点E从点C出发以每秒1个单位的速度运动到点B停止，连接EM并延长交AD于点F，设点E的运动时间为t秒．
(1)求四边形ABCD的面积；
(2)当∠EMC=90°时，判断四边形DCEF的形状，并说明理由；
(3)连接BM，点E在运动过程中是否能使△BEM为等腰三角形?如果能，求出t；如果不能，请说明理由．
【答案】（1）16
（2）菱形，理由见解析（3）t＝5.2或t＝82
时，△BEM为等腰三角形
【解析】
（1）利用直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半求得平行四边形的定和高，再利用底乘以高计算面积；
（2）结合∠EMC＝90°以及平行四边形的性质，可证明四边形DCEF是平行四边形，再通过计算得到平行四边形CDFE的一组邻边相等即可证得结论；
（3）探究△BEM为等腰三角形，要分三种情况进行讨论：EB＝EM，EB＝BM，EM＝BM．通过相应的计算表示出BE，EM，BM，然后利用边相等建立方程进行求解．
（1）∵∠DAC＝30°，∠ACD＝90°，AD＝8，
∴CD＝4，AC＝
=4．
又∵四边形ABCD为平行四边形，
∴四边形ABCD的面积为4×4＝16．
（2）如图1，当∠EMC＝90°时，四边形DCEF是菱形．
∵∠EMC＝∠ACD＝90°，
∴DC∥EF．
∵BC∥AD，
∴四边形DCEF是平行四边形，∠BCA＝∠DAC．
由（1）可知：CD＝4，AC＝4．
∵点M为AC的中点，
∴CM＝2．
在Rt△EMC中，∠CME＝90°，∠BCA＝30°．
∴CE＝2ME，可得ME2＋（2）2＝（2ME）2，
解得：ME＝2．
∴CE＝2ME＝4．
∴CE＝DC．
又∵四边形DCEF是平行四边形，
∴四边形DCEF是菱形．
（3）点E在运动过程中能使△BEM为等腰三角形．
理由：如图2，过点B作BG⊥AD与点G，过点E作EH⊥AD于点H，连接DM．
∵DC∥AB，∠ACD＝90°，
∴∠CAB＝90°．
∴∠BAG＝180°30°90°＝60°．
∴∠ABG＝30°．
∴AG＝
AB＝2，BG＝
=2
．
∵点E的运动速度为每秒1个单位，运动时间为t秒，
∴CE＝t，BE＝8t．
在△CEM和△AFM中
，
∴△CEM≌△AFM．
∴ME＝MF，CE＝AF＝t．
∴HF＝HGAFAG＝BEAFAG＝8t2t＝62t．
∵EH＝BG＝2，
∴在Rt△EHF中，ME＝EF＝
＝
．
∵M为平行四边形ABCD对角线AC的中点，
∴D，M，B共线，且DM＝BM．
∵在Rt△DBG中，DG＝AD＋AG＝10，BG＝2，
∴BD=
故BM＝×4＝2．
要使△BEM为等腰三角形，应分以下三种情况：
当EB＝EM时，有(8t)2＝
[12＋(62t)2]，
解得：t＝5.2．
当EB＝BM时，有8t＝2，
解得：t＝82．
当EM＝BM时，由题意可知点E与点B重合，此时点B、E、M不构成三角形．
综上所述，当t＝5.2或t＝82时，△BEM为等腰三角形．
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【题目】我们在学完“平移、轴对称、旋转”三种图形的变化后，可以进行进一步研究，请根据示例图形，完成下表．
图形的变化 | 示例图形 | 与对应线段有关的结论 | 与对应点有关的结论 |
平移 |
| （1）__________． |
|
轴对称 |
| （2）__________． | （3）__________． |
旋转 |
|
| （4）__________． |
