Question

如图（1），在□ABCD中，P是CD边上的一点，AP与BP分别平分∠DAB和∠CBA。

小题1:判断△APB是什么三角形？证明你的结论；
小题2:比较DP与PC的大小；
小题3:如图（2）以AB为直径作半圆O，交AD于点E，连结BE与AP交于点F，若AD=5cm，AP=8cm，求证△AEF∽△APB，并求tan∠AFE的值。

Answer 1

小题1:△APB是直角三角形，理由如下：
∵在□ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAB +∠ABC = 180°；
又∵AP与BP分别平分∠DAB和∠CBA，
∴∠PAB =，∠PBA =，
∴∠PAB+∠PBA=，
∴△APB是直角三角形；
小题1:∵DC∥AB，
∴∠BAP =∠DPA．
∵∠DAP =∠PAB，
∴∠DAP =∠DPA，
∴DA = DP
同理证得CP=CB．
∴DP = PC
小题1:∵AB是⊙O直径，
∴∠AEB = 90°．
又（1）易知∠APB = 90°．
∴∠AEB =∠APB，
∵AP为角平分线，即∠EAF=∠PAB，
∴△AEF∽△APB，
由（2）可知DP =" PC" = AD，
∴ AB =" DC" =" 2AD" = 10cm，
在Rt△PAB中，（cm）
又△AEF∽△APB，
得∠AFE=∠ABP，
∴tan∠AFE = tan∠ABP=。

小题1:可通过角的度数来判断三角形APB的形状．由于ABCD是平行四边形，AD∥BC，那么同旁内角∠DAB和∠CBA的和应该是180°，AP，BE平分∠DAB，∠ABP，于是∠PAB和∠ABP的和就应该是90°，即∠APB=90°，因此可得出三角形APB的形状．
小题1:可通过平行和角平分线，通过等角对等边得出DP=AP，同理可证出PC=BC，根据平行四边形的性质，AD=BC，可得出DP=PC．
小题1:利用两个角相等求出△AEF∽△APB，然后利用（2）求出PB的长度，在根据∠AFE=∠ABP，然后求出tan∠AFE的值.