在矩形AOBC中.OB=6.OA=4.分别以OB.OA所在直线为x轴和y轴.建立如图所示的平面直角坐标系．F是BC上的一个动点.过F点的反比例函数y=kx的图象与AC边交于点E．(1)填空:点C的坐标是(6.4)(6.4),(2)连接 OE.OF.若tan∠BOF=49.求∠AOE的度数,(3)是否存在这样的点F.使得△OEF为直角三角形?若存在.求出此时点F坐标,� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

在矩形AOBC中，OB=6，OA=4，分别以OB，OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F是BC上的一个动点（不与B、C重合），过F点的反比例函数y=

(k＞0)的图象与AC边交于点E．
（1）填空：点C的坐标是

（6，4）

；
（2）连接 OE、OF，若tan∠BOF=

，求∠AOE的度数；
（3）是否存在这样的点F，使得△OEF为直角三角形？若存在，求出此时点F坐标；若不存在，请说明理由．

分析：（1）由OA与OB的长，根据C位于第一象限点，即可确定出C的坐标；
（2）在直角三角形BOF中，利用锐角三角函数定义表示出tan∠BOF，由OB的长求出BF的长，进而确定出F的坐标，将F坐标代入反比例解析式中求出k的值，确定出反比例函数解析式，将y=4代入反比例解析式求出对应x的值，确定出OA与AE的长相等，得到三角形AOE为等腰直角三角形，即可得出∠AOE的度数；
（3）存在这样的点F，使得△OEF为直角三角形，理由为：由∠EOF为锐角，不可能为直角，设BF=a，由OB=6，得到F（6，a），代入反比例解析式得：k=6a；由OA=4，得到4AE=k=6a，即AE=AE=1.5a，EC=AC-AE=6-1.5a，CF=BC-BF=4-a；分两种情况考虑：当∠OEF为直角时，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等得到三角形AOE与三角形ECF相似，由相似得比例，将各自的值代入列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值；当∠OFE为直角时，同理求出a的值，经检验不合题意，综上得到满足题意a的值．

解答：解：（1）∵OB=6，OA=4，且C在第一象限，
∴C的坐标为（6，4）；
故答案为：（6，4）；

（2）在Rt△OBF中，tan∠BOF=

，OB=6，
∴BF=

，
∴F（6，

），
将F点坐标代入反比例解析式得：k=6×

=16，即反比例解析式为y=

，
∴将y=4代入反比例解析式得：x=4，即E（4，4），
在Rt△AOE中，OA=AE=4，
∴∠AOE=45°；

（3）存在，理由为：
设BF=a，由OB=6，得到F（6，a），代入反比例解析式得：k=6a；
由OA=4，得到4AE=k=6a，即AE=1.5a，
∴EC=AC-AE=6-1.5a，CF=BC-BF=4-a，
由∠EOF为锐角，不可能为直角，
故分两种情况讨论：
①当∠OEF=90°时，可得∠AEO+∠FEC=90°，
又∠AEO+∠AOE=90°，且∠OAE=∠ECF=90°，
∴△AOE∽△CEF，
∴

，即

6-1.5a

1.5a

4-a

，
整理得9a²-52a+64=0，
解得：a₁=

，a₂=4，
∴F（6，

）；
②当∠OFE=90°时，同理△CEF∽△BFO，
∴

，即

6-1.5a

4-a

，
整理得a²-13a+36=0，
解得a₁=9，a₂=4均不合题意，
∴∠OFE≠90°，
综上所述，当F（6，

）时，△OEF为为直角三角形．