题目内容
【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（3，0），点B（0，3
），点O为原点．动点C、D分别在直线AB、OB上，将△BCD沿着CD折叠，得△B'CD．
（Ⅰ）如图1，若CD⊥AB，点B'恰好落在点A处，求此时点D的坐标；
（Ⅱ）如图2，若BD=AC，点B'恰好落在y轴上，求此时点C的坐标；
（Ⅲ）若点C的横坐标为2，点B'落在x轴上，求点B'的坐标（直接写出结果即可）．
【答案】（1）D（0，
）；（2）C（12﹣6，12﹣18）；（3）B'（2+
，0），（2﹣，0）.
【解析】
(1)设OD为x，则BD=AD=3
，在RT△ODA中应用勾股定理即可求解；
(2)由题意易证△BDC∽△BOA，再利用A、B坐标及BD=AC可求解出BD长度，再由特殊角的三角函数即可求解；
(3)过点C作CE⊥AO于E，由A、B坐标及C的横坐标为2，利用相似可求解出BC、CE、OC等长度；分点B’在A点右边和左边两种情况进行讨论，由翻折的对称性可知BC=B’C，再利用特殊角的三角函数可逐一求解.
（Ⅰ）设OD为x，
∵点A（3，0），点B（0，
），
∴AO=3，BO=
∴AB=6
∵折叠
∴BD=DA
在Rt△ADO中，OA2+OD2=DA2．
∴9+OD2=（﹣OD）2．
∴OD=
∴D（0，）
（Ⅱ）∵折叠
∴∠BDC=∠CDO=90°
∴CD∥OA
∴
且BD=AC，
∴
∴BD=
﹣18
∴OD=﹣（﹣18）=18﹣
∵tan∠ABO=
，
∴∠ABC=30°，即∠BAO=60°
∵tan∠ABO=
，
∴CD=12﹣6
∴D（12﹣6，12﹣18）
（Ⅲ）如图：过点C作CE⊥AO于E
∵CE⊥AO
∴OE=2，且AO=3
∴AE=1，
∵CE⊥AO，∠CAE=60°
∴∠ACE=30°且CE⊥AO
∴AC=2，CE=
∵BC=AB﹣AC
∴BC=6﹣2=4
若点B'落在A点右边，
∵折叠
∴BC=B'C=4，CE=，CE⊥OA
∴B'E=
∴OB'=2+
∴B'（2+，0）
若点B'落在A点左边，
∵折叠
∴BC=B'C=4，CE=，CE⊥OA
∴B'E=
∴OB'=﹣2
∴B'（2﹣，0）
综上所述：B'（2+，0），（2﹣，0）
