题目内容

【题目】如图1已知O的半径为1PAQ的正切值为AQO的切线O从点A开始沿射线AQ的方向滚动切点为A'

1sin∠PAQ= cos∠PAQ=

2如图1O在初始位置时圆心O到射线AP的距离为

如图2O的圆心在射线AP上时AA'=

3O的滚动过程中AA'之间的距离为m圆心O到射线AP的距离为nnm之间的函数关系式并探究当m分别在何范围时O与射线AP相交、相切、相离

【答案】1 ;(2)①;②;(3n=,当0m时,⊙OAN相交,当m=时,⊙OAN相切,当m时,⊙OAN相离.

【解析】试题分析:(1)依据锐角三角函数的定义可求得sinPAQ、cosPAQ的值;

(2)①过点OOBAP,垂足为B.依据同角的余角相等可证明∠AOB=QAP,然后依据锐角三角函数的定义可求得OB的长;②连接OA′.由切线的性质可知∠OA′A=90°,接下来,依据锐角三角函数的定义可求得AA′的长;

3)当0m2时,如图3所示:连接OA′,过点OOHAP,垂足为H.在RtOGH中,在RtAA′G中,依据锐角三角函数的定义可得到OG=nGA′=m,然后依据OG+GA′=1可得到nm之间的函数关系式;当m2时,如图2所示,过点OOHAP,垂足为H,连接A′O并延长交AP与点G.依据锐角三角函数的定义可知OG=n、,GA′=m,由GA′OG=1可得到nm之间的函数关系式;接下来,依据dr的关系可求得当直线AP与⊙O相切,相交、相离时m的取值范围.

试题解析:

解:(1∵∠PAQ的正切值为

sinPAQ==cosQAQ==

故答案为: ,

(2)①如图1所示:过点OOBAP,垂足为B

AQ是⊙O的切线,

OAAQ

∴∠OAP+∠PAQ=90°,

OBAP

∴∠OAP+∠AOB=90°,

∴∠AOB=PAQ

=cosPAQ=

OA=1,

OB=

∴圆心O到射线AP的距离为.

②如图2所示:连接OA′

∵⊙OAQ相切,

OA′AQ

∴∠OA′A=90°,

=tanA

AA′=2.

故答案为:2

3)当0x2时,如图3所示:连接OA′,过点OOHAP,垂足为H

∵在RtOGH中,cosO==

OG=n,

∵在RtAA′G中,tanA==

GA′=m

OG+GA′=1,

n+m=1

n=m+

②当x2时,如图2所示,过点OOHAP,垂足为H,连接A′O并延长交AP与点G

∵∠HGO=AGA′GA′A=OHD=90°,

∴∠HOG=PAQ,

OG=nGA′=m,

GA′OG=1得,n=m- ,

综上所述,nm的函数关系式为n=.

∵当n=1时,⊙OAP相切,此时m- =1,解得m=+

∴当0m+时,⊙OAN相交,

m=+时,⊙OAN相切;

m+时,⊙OAN相离.

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