Question

【题目】在Rt△ABC中，BC=4，AC=8，点D为AB的中点，P为AC边上一动点．△BDP沿着PD所在的直线翻折，点B的对应点为E．

（1）若PD⊥AB，求AP；

（2）若△PDE与△ABC重合部分的面积等于△PAB面积的，求AP的长．

Answer 1

【答案】（1）AP=5；（2）AP=6或2．

【解析】

试题分析：（1）如图1，根据勾股定理可求出AB，从而得到AD、BD的值，易证△ADP∽△ACB，只需运用相似三角形的性质就可求出AP的值；

（2）根据条件可得S△PDF=S△PAB=S△ADP=S△EDP，从而可得AF=PF，EF=DF．而符合条件的位置有两个（图3、图4），需分两种情况讨论：①如图3，根据三角形中位线定理可得DF∥BP，则有∠EDP=∠BPD．由折叠可得∠BDP=∠EDP，从而可得∠BDP=∠BPD，即可得到BP=BD=2，在Rt△BCP中运用勾股定理可求出PC，就可得到AP的值；②如图4，连接AE，由AF=PF，EF=DF可得四边形AEDP是平行四边形，则有AP=ED，由折叠可得DE=DB，即可得到AP=DB=2．

解：（1）如图：∵∠C=90°，BC=4，AC=8，

∴AB=4

∵点D为AB的中点，

∴AD=DB=2

∵PD⊥AB，

∴∠ADP=90°，

∵∠A=∠A，∠ADP=∠C，

∴△ADP∽△ACB，

∴，

∴AP=5；

（2）∵点D是线段AB的中点，

∴S△ADP=S△BDP=S△PAB．

由折叠可得：S△EDP=S△BDP，

∴S△PDF=S△PAB=S△ADP=S△EDP，

∴AF=PF，EF=DF．

①如图3，

根据三角形中位线定理可得：DF∥BP，

∴∠EDP=∠BPD．

由折叠可得∠BDP=∠EDP，

∴∠BDP=∠BPD，

∴BP=BD=2，

∴PC=，

∴AP=8﹣2=6；

②如图4，

连接AE，

∵AF=PF，EF=DF，

∴四边形AEDP是平行四边形，

∴AP=ED，

由折叠可得：DE=DB，

∴AP=DB=2．

综上所述：AP=6或2．