Question

已知△ABC，D是BC的中点，将三角板中的90°角的顶点绕D点在△ABC内旋转，角的两边分别与AB、AC交于E、F，且点E、F不与A、B、C三点重合．
（1）如果∠A=90°，观察并探索，当E、F点位置变化时，BE、EF、CF三条线段中有否有一条线段始终最长？请指出，并给予证明．
（2）请分别∠A＞90°、∠A＜90°两种情况考察BE、EF、CF三条线段中有否有一条线段始终最长？如果有，请指出最长的线段，但不需证明；如果没有，请画草图举出反例．

Answer 1

（1）答：线段EF始终最大，证明如下：
将△FDC绕点D顺时针方向旋转180°，如图，
∵D是BC的中点，
∴点C旋转后与点B重合，△FDC≌△F′DB，∠FCD=F′BD，DF=DF′，FC=F′B，
连接EF、EF’，
在△EDF和△EDF’中，
∵∠EDF=90°=∠EDF，ED=ED，FD=F′D，
∴△FDE≌△F′DE，
∴EF=EF’，
在△EBF’中，∠EBF’=∠EBD+∠F’BD=∠EBD+∠FCD=180°-∠A=90°，
EF’是Rt△EBF′斜边EF′＞EB，EF′＞BF′，
∴BE、EF、CF三条线段中，EF的长度始终最大，

（2）当∠A＜90°，BE、EF、CF三条线段中，EF始终最长，（原因∠EBF’＞180°，
当∠A＞90°，BE、EF、CF三条线段中，不存在始终最长的线段，反例如图：