题目内容
如图,抛物线与轴交于A、B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C,且当=O和=4时,y的值相等。直线y=4x-16与这条抛物线相交于两点,其中一点的横坐标是3,另一点是这条抛物线的顶点M。
(1)求这条抛物线的解析式;
(2)P为线段OM上一点,过点P作PQ⊥轴于点Q。若点P在线段OM上运动(点P不与点O重合,但可以与点M重合),设OQ的长为t,四边形PQCO的面积为S,求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围;
(3)随着点P的运动,四边形PQCO的面积S有最大值吗?如果S有最大值,请求出S的最大值并指出点Q的具体位置和四边形PQCO的特殊形状;如果S没有最大值,请简要说明理由;
(4)随着点P的运动,是否存在t的某个值,能满足PO=OC?如果存在,请求出t的值。
(1)(2)S=2t2+4t,<≤(3)点在线段的中点上,16,平行四边形(4)
【解析】解:(1)∵当和时,的值相等,∴,……1分
∴,∴
将代入,得,
将代入,得………………………………………….2分
∴设抛物线的解析式为
将点代入,得,解得.
∴抛物线,即……………………………..3分
(2)设直线OM的解析式为,将点M代入,得,
∴……………………………………………………………………..4分
则点P,,而,.
=.......................5分
的取值范围为:<≤.......................................6分
(1)随着点的运动,四边形的面积有最大值.
从图像可看出,随着点由→运动,的面积与的面积在不断增大,即不断变大,显当然点运动到点时,有最值...............7分
此时时,点在线段的中点上............. ................8分
因而.
当时,,∥,∴四边形是平行四边形. ..9分
(4)随着点的运动,存在,能满足.................10分
设点,,. 由勾股定理,得.
∵,∴,<,(不合题意)
∴当时,...................................11分
(1)x=O和x=4时,y的值相等,即可得到函数的对称轴是x=2,把x=2和x=3分别代入直线y=4x-16就可以求出抛物线上的两个点的坐标,并且其中一点是顶点,利用待定系数法,设出函数的顶点式一般形式,就可以求出函数的解析式;
(2)根据待定系数法可以求出直线OM的解析式,设OQ的长为t,即P,Q的横坐标是t,把x=t代入直线OM的解析式,就可以求出P点的纵坐标,得到PQ的长,四边形PQCO的面积S=S△COQ+S△OPQ,很据三角形的面积公式就可以得到函数解析式;
(3)从图象可看出,随着点P由O→M运动,△COQ的面积与△OPQ的面积在不断增大,即S不断变大,显当然点P运动到点M时,S最值;
(4)在直角△OPQ中,根据勾股定理就可以求出点P的坐标.