Question

如图，⊙O₁和⊙O内切于点A，AB为⊙O的直径，点O₁在OA上，⊙O的弦BC切⊙O₁于点D，两圆的半径R=4，r=3．
（1）求BD的长；
（2）求CD的长．

Answer 1

分析：（1）根据切线的性质求出∠BDO₁=90°，根据勾股定理求出即可；
（2）求出∠ACB=90°，推出△BDO₁∽△BCA，得到比例式，代入求出BC即可．

解答：解：（1）连接O₁D，AC，
∵BD切圆O₁于D，
∴∠BDO₁=90°，
由勾股定理得：O₁D²+BD²=BO₁²，
即3²+BD²=（2×4-3）²，
解得：BD=4．
答：BD的长是4．

（2）∵AB是直径，
∴∠ACB=90°=∠O₁DB，
∵∠B=∠B，
∴△BDO₁∽△BCA，
∴

BD

BC

=

BO1

AB

，
即

4

BC

=

5

8

，
∴BC=

32

5

，
∴CD=

32

5

-4=

12

5

．
答：CD的长是

12

5

．

点评：本题主要考查对相切两圆的性质，切线的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定，圆周角定理等知识点的理解和掌握，能求出BD和BC的长是解此题的关键．