题目内容
【题目】如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝GC；③AG∥CF；④S△FGC＝3．其中正确结论的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
根据正方形性质和翻折的性质，得到AB=AF，∠B=∠AFG=90°，利用HL定理即可判定①正确；求出DE、CE的长，从而得到EF，设BG=x，然后表示出GF，再求出CG、EG的长，然后在Rt△CEG中，利用勾股定理列式求出x的值，从而得到BG=CG，判定②正确；再根据等边对等角的性质得到∠GCF=∠GFC，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠GCF+∠GFC=∠AGB+∠AGF，从而求出∠GCF=∠AGB，根据同位角相等，两直线平行即可证明AG∥CF，判定③正确；先求出△CEG的面积，再根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出△FGC的面积为
，判定④错误．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=DC=6，∠B=∠D=90°，
∵CD=3DE，
∴DE=2，
∵△ADE沿AE折叠得到△AFE，
∴DE=EF=2，AD=AF，∠D=∠AFE=∠AFG=90°，
∴AF=AB，
∵在Rt△ABG和Rt△AFG中，
，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），
∴①正确；
∵Rt△ABG≌Rt△AFG，
∴BG=FG，∠AGB=∠AGF，
设BG=x，则CG=BC-BG=6-x，GE=GF+EF=BG+DE=x+2，
在Rt△ECG中，由勾股定理得：CG2+CE2=EG2，
∵CG=6-x，CE=4，EG=x+2
∴(6-x)2+42=(x+2)2
解得：x=3，
∴BG=GF=CG=3，
∴②正确；
∵CG=GF，
∴∠CFG=∠FCG，
∵∠BGF=∠CFG+∠FCG，
又∵∠BGF=∠AGB+∠AGF，
∴∠CFG+∠FCG=∠AGB+∠AGF，
∵∠AGB=∠AGF，∠CFG=∠FCG，
∴∠AGB=∠FCG，
∴AG∥CF，
∴③正确；
∵△CFG和△CEG中，分别把FG和GE看作底边，
则这两个三角形的高相同．
∴
=
=
，
∵S△CEG=
×3×4=6，
∴S△FGC=×6=，
∴④错误；
正确的结论有3个.
故选C．
