Question

（2010•资阳）如图，在直角梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB=3，AD=1，BC=6，∠A=∠B=90°．设动点P、Q、R在梯形的边上，始终构成以P为直角顶点的等腰直角三角形，且△PQR的一边与梯形ABCD的两底平行．
（1）当点P在AB边上时，在图中画出一个符合条件的△PQR （不必说明画法）；
（2）当点P在BC边或CD边上时，求BP的长．

Answer 1

分析：（1）根据平行线的性质，就可以画出一个符合条件的三角形．
（2）分两种情况进行讨论，当P在CD边上时，由题意，PR∥BC，设PR=x．可证四边形PRBQ是正方形，由条件证明△CPQ∽△CDE，可以求出PR的值，再解直角三角形就可以求出BP的值；当P在BC边上，依题意可知RQ∥BC．，过Q作QF⊥BC，易证△BRP≌△FQP，则PB=PF．易证四边形BFQR是矩形，可以证明△CQF∽△CDE，从而得出结论．

解答：解：（1）如图△PQR是符合条件的三角形．
 
（2）①当P在CD边上时，由题意，PR∥BC，设PR=x．可证四边形PRBQ是正方形，
∴PR=PQ=BQ=x．
过D点作DE∥AB，交BC于E，易证四边形ABED是矩形．
∴AD=BE=1，AB=DE=3．又 PQ∥DE，
∴△CPQ∽△CDE，∴

PQ

DE

=

CQ

CE

．
∴

x

3

=

6-x

5

，

∴x=

9

4

，即BP=

9

4

2

．
②当P在BC边上，依题意可知RQ∥BC．
过Q作QF⊥BC，易证△BRP≌△FQP，则PB=PF．
易证四边形BFQR是矩形，
设BP=x，则BP=BR=QF=PF=x，BF=RQ=2x．
∵QF∥DE，
∴△CQF∽△CDE，
∴

QF

DE

=

CF

CE

，
∴

x

3

=

6-2x

5

，
∴x=

18

11

．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，直角梯形的性质及矩形和正方形的性质的运用．