Question

（2012•河池）如图，在10×10的正方形网格中，△ABC的顶点和线段EF的端点都在边长为1的小正方形的顶点上．
（1）填空：tanA=

1

2

，AC=

2

5

（结果保留根号）；
（2）请你在图中找出一点D（仅一个点即可），连接DE、DF，使以D、E、F为顶点的三角形与△ABC全等，并加以证明．

Answer 1

分析：（1）延长AB，过C作延长线的垂线CG，在直角三角形ACG中，由CG及AG的长，利用锐角三角函数定义求出tanA的值，利用勾股定理求出AC的值即可；
（2）图中找出一点D，连接DE、DF，△ABC≌△EFD，如图所示，理由为：在直角三角形FDM中，由FM与MD的长，利用勾股定理求出FD的长，同理求出BC的长，可得出FD=BC，同理可得出ED=AC，EF=AB，利用SSS可得出△ABC≌△EFD．

解答：解：（1）延长AB，过C作CG⊥AB，交延长线于点G，
在Rt△ACG中，CG=2，AG=4，
根据勾股定理得：AC=

AG2+GC2

=2

5

，
tanA=

CG

AG

=

1

2

；

（2）图中找出一点D，连接DE、DF，△ABC≌△EFD，如右图所示，
证明：在Rt△EMD中，EM=4，MD=2，
根据勾股定理得：ED=

42+22

=2

5

，
在Rt△FDM中，FM=2，MD=2，
根据勾股定理得：FD=

22+22

=2

2

，
同理在Rt△BCG中，根据勾股定理得：BC=2

2

，
在△ABC和△EFD中，
∵

AB=EF=2 FD=BC=2 2 ED=AC=2 5

，
∴△ABC≌△EFD（SSS）．
故答案为：（1）

1

2

；2

5

点评：此题考查了勾股定理，锐角三角函数定义，以及全等三角形的判定，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．