Question

（2012•河池）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，以底边BC的垂直平分线和BC所在的直线建立平面直角坐标系，抛物线y=-

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x²+

7

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x+4经过A、B两点．
（1）写出点A、点B的坐标；
（2）若一条与y轴重合的直线l以每秒2个单位长度的速度向右平移，分别交线段OA、CA和抛物线于点E、M和点P，连接PA、PB．设直线l移动的时间为t（0＜t＜4）秒，求四边形PBCA的面积S（面积单位）与t（秒）的函数关系式，并求出四边形PBCA的最大面积；
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点P，使得△PAM是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）抛物线的解析式中，令x=0，能确定点B的坐标；令y=0，能确定点A的坐标．
（2）四边形PBCA可看作△ABC、△PBA两部分；△ABC的面积是定值，关键是求出△PBA的面积表达式；若设直线l与直线AB的交点为Q，先用t表示出线段PQ的长，而△PAB的面积可由（

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PQ•OA）求得，在求出S、t的函数关系式后，由函数的性质可求得S的最大值．
（3）△PAM中，∠APM是锐角，而PM∥y轴，∠AMP=∠ACO也不可能是直角，所以只有∠PAC是直角一种可能，即 直线AP、直线AC垂直，此时两直线的斜率乘积为-1，先求出直线AC的解析式，联立抛物线的解析式后可求得点P的坐标．

解答：解：（1）抛物线y=-

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x²+

7

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x+4中：
令x=0，y=4，则 B（0，4）；
令y=0，0=-

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x²+

7

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x+4，解得 x₁=-1、x₂=8，则 A（8，0）；
∴A（8，0）、B（0，4）．

（2）△ABC中，AB=AC，AO⊥BC，则OB=OC=4，∴C（0，-4）．
由A（8，0）、B（0，4），得：直线AB：y=-

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x+4；
依题意，知：OE=2t，即 E（2t，0）；
∴P（2t，-2t²+7t+4）、Q（2t，-t+4），PQ=（-2t²+7t+4）-（-t+4）=-2t²+8t；
S=S_△ABC+S_△PAB=

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×8×8+

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2

×（-2t²+8t）×8=-8t²+32t+32=-8（t-2）²+64；
∴当t=2时，S有最大值，且最大值为64．

（3）∵PM∥y轴，∴∠AMP=∠ACO＜90°；
而∠APM是锐角，所以△PAM若是直角三角形，只能是∠PAM=90°；
由A（8，0）、C（0，-4），得：直线AC：y=

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x-4；
所以，直线AP可设为：y=-2x+h，代入A（8，0），得：
-16+h=0，h=16
∴直线AP：y=-2x+16，联立抛物线的解析式，得：

y=- 1 2 x2+ 7 2 x+4 y=-2x+16

，解得

x1=8 y1=0

、

x2=3 y2=10

∴存在符合条件的点P，且坐标为（3，10）．

点评：此题主要考查的是函数图象与坐标轴的交点坐标的求法、图形面积的解法以及直角三角形的判定；最后一题中，先将不可能的情况排除掉可大大的简化解答过程．