题目内容
【题目】如图,在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90°,F为AB延长线上一点,点E在BC上,且AE=CF;
(1)求证:Rt△ABE≌Rt△CBF;
(2)求证:AB=CE+BF;
(3)若∠CAE=30°,求∠ACF度数.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)60°
【解析】
试题分析:(1)根据在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90°,F为AB延长线上一点,点E在BC上,且AE=CF,可以得到Rt△ABE和Rt△CBF全等的条件,从而可以证明Rt△ABE≌Rt△CBF;
(2)根据Rt△ABE≌Rt△CBF,可以得到AB=BC,BE=BF,然后即可转化为AB、CE、BF的关系,从而可以证明所要证明的结论;
(3)根据Rt△ABE≌Rt△CBF,AB=CB,∠CAE=30°,可以得到∠ACF的度数.
(1)证明:∵∠ABC=90°,
∴∠ABE=∠CBF=90°,
在Rt△ABE和Rt△CBF中,
,
∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL);
(2)证明:∵Rt△ABE≌Rt△CBF,
∴AB=BC,BE=BF,
∵BC=BE+CE,
∴AB=CE+BF.
(3)∵AB=CB,∠ABC=90°,∠CAE=30°,∠CAB=∠CAE+∠EAB,
∴∠BCA=∠BAC=45°,
∴∠EAB=15°,
∵Rt△ABE≌Rt△CBF,
∴∠EAB=∠FCB,
∴∠FCB=15°,
∴∠ACF=∠FCB+∠BCA=15°+45°=60°,
即∠ACF=60°.
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