Question

【题目】已知函数f（x）=m﹣|x﹣1|，（m＞0），且f（x+1）≥0的解集为[﹣3，3]． （Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）若正实数a，b，c满足 ，求证：a+2b+3c≥3．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）解：因为f（x+1）=m﹣|x|， 所以f（x+1）≥0等价于|x|≤m，
由|x|≤m，得解集为[﹣m，m]，（m＞0）
又由f（x+1）≥0的解集为[﹣3，3]，故m=3．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知 ，
又∵a，b，c是正实数，
∴a+2b+3c= ．
当且仅当 时等号成立，
所以a+2b+3c≥3．
【解析】（Ⅰ）f（x+1）≥0等价于|x|≤m，求出解集，利用f（x+1）≥0的解集为[﹣3，3]，求m的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，利用柯西不等式即可证明．
【考点精析】利用二维形式的柯西不等式对题目进行判断即可得到答案，需要熟知二维形式的柯西不等式：当且仅当时，等号成立．