题目内容
在平面直角坐标系中,已知点A(4,0),点B(0,3).点P从点A出发,以每秒1个单位的速度向右平移,点Q从点B出发,以每秒2个单位的速度向右平移,又P、Q两点同时出发.(1)连接AQ,当△ABQ是直角三角形时,求点Q的坐标;
(2)当P、Q运动到某个位置时,如果沿着直线AQ翻折,点P恰好落在线段AB上,求这时∠AQP的度数.
分析:(1)分∠BAQ=90°和∠BQA=90°两种情况讨论,前者利用△AOB∽△BAQ,得出BQ=
,后者可根据等腰直角三角形的性质得到BQ=OA=4,从而求出Q点的坐标;
(2)点E作EF⊥BQ,垂足为点E,过点Q作QH⊥OP,垂足为点H,根据翻折不变性及BQ∥OP,得到△EQF≌△PHQ,从而得到∠EQF=∠PQH,又因为∠PQE=90°故∠AQP=∠AQE=45°.
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4 |
(2)点E作EF⊥BQ,垂足为点E,过点Q作QH⊥OP,垂足为点H,根据翻折不变性及BQ∥OP,得到△EQF≌△PHQ,从而得到∠EQF=∠PQH,又因为∠PQE=90°故∠AQP=∠AQE=45°.
解答:解:(1)根据题意,可得:A(4,0)、B(0,3)、AB=5,
ⅰ)当∠BAQ=90°时,△AOB∽△BAQ,
∴
=
,解得BQ=
.
ⅱ)当∠BQA=90°时,BQ=OA=4,
∴Q(
,3)或(4,3);
(2)设点P翻折后落在线段AB上的点E处,
则∠EAQ=∠PAQ,∠EQA=∠PQA,AE=AP,QE=QP,
又BQ∥OP,
∴∠PAQ=∠BQA,
∴∠EAQ=∠BQA,
即AB=QB=5,
∴AP=
BQ=
,
∴AE=AP=
=
AB,即点E是AB的中点.
过点E作EF⊥BQ,垂足为点E,过点Q作QH⊥OP,垂足为点H,则EF=
,PH=
,
∴EF=PH,
又EQ=PQ,∠EFQ=∠PHQ=90°,
∴△EQF≌△PHQ,
∴∠EQF=∠PQH,
从而∠PQE=90°,
∴∠AQP=∠AQE=45°.
ⅰ)当∠BAQ=90°时,△AOB∽△BAQ,
∴
BQ |
AB |
AB |
AO |
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4 |
ⅱ)当∠BQA=90°时,BQ=OA=4,
∴Q(
25 |
4 |
(2)设点P翻折后落在线段AB上的点E处,
则∠EAQ=∠PAQ,∠EQA=∠PQA,AE=AP,QE=QP,
又BQ∥OP,
∴∠PAQ=∠BQA,
∴∠EAQ=∠BQA,
即AB=QB=5,
∴AP=
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5 |
2 |
∴AE=AP=
5 |
2 |
1 |
2 |
过点E作EF⊥BQ,垂足为点E,过点Q作QH⊥OP,垂足为点H,则EF=
3 |
2 |
3 |
2 |
∴EF=PH,
又EQ=PQ,∠EFQ=∠PHQ=90°,
∴△EQF≌△PHQ,
∴∠EQF=∠PQH,
从而∠PQE=90°,
∴∠AQP=∠AQE=45°.
点评:此题考查了相似三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质,同时涉及翻折不变性及线段的中点,解答时要灵活运用分类讨论的数学思想.
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