题目内容
【题目】如图1,在△ABC中,AB=AC,点D是BC边上一点(不与点B、C重合),以AD为边在AD的右侧作△ADE,使AD=AE,∠DAE=∠BAC,连接CE,设∠BAC=α,∠BCE=β.
(1)线段BD、CE的数量关系是________;并说明理由;
(2)探究:当点D在BC边上移动时,α,β之间有怎样的数量关系?请说明理由;
(3)如图2,若∠BAC=90°,CE与BA的延长线交于点F.求证:EF=DC.
【答案】(1)BD=CE,理由见解析;(2)α+β=180°,理由见解析;(3)见解析.
【解析】
(1)首先求出∠BAD=∠CAE,再利用SAS得出△ABD≌△ACE即可得BD=CE;
(2)利用△ABD≌△ACE,推出∠BAC+∠BCE=180°,根据三角形内角和定理求出即可;
(3)利用△ABD≌△ACE,可得∠B=∠ACE,由∠BAC=90°,AB=AC得∠B=∠ACE=∠ACB=45°,可证出△BCF是等腰直角三角形,则BC=FC,即可得出结论.
(1)BD=CE.
证明:∵∠BAC=∠DAE,
∴∠BAD=∠CAE,
∵在△ABD和△ACE中,
,
∴△ABD≌△ACE(SAS)
∴BD=CE;
(2)α+β=180°
理由:∵△ABD≌△ACE,
∴∠B=∠ACE,
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=∠ACB+∠B,
∵∠BAC+∠B+∠ACB=180°,
∴∠BAC+∠BCE=180°,
即α+β=180°;
(3)∵△ABD≌△ACE,
∴∠B=∠ACE,BD=CE,
∵∠BAC=90°,AB=AC,
∴∠B=∠ACE=∠ACB=45°,
∴△BCF是等腰直角三角形,
∴BC=FC,
∴BC-BD=FC-CE,即EF=DC.
故答案为:(1)BD=CE,理由见解析;(2)α+β=180°,理由见解析;(3)见解析.