题目内容

【题目】如图1,在ABC中,ABAC,点DBC边上一点(不与点BC重合),以AD为边在AD的右侧作ADE,使ADAE,∠DAE=∠BAC,连接CE,设∠BACα,∠BCEβ

1)线段BDCE的数量关系是________;并说明理由;

2)探究:当点DBC边上移动时,αβ之间有怎样的数量关系?请说明理由;

3)如图2,若∠BAC90°CEBA的延长线交于点F.求证:EFDC.

【答案】1BD=CE,理由见解析;(2α+β=180°,理由见解析;(3)见解析.

【解析】

1)首先求出∠BAD=CAE,再利用SAS得出ABD≌△ACE即可得BD=CE

2)利用ABD≌△ACE,推出∠BAC+BCE=180°,根据三角形内角和定理求出即可;

3)利用ABD≌△ACE,可得∠B=ACE,由∠BAC90°ABAC得∠B=ACE=ACB=45°,可证出BCF是等腰直角三角形,则BC=FC,即可得出结论.

1BD=CE.

证明:∵∠BAC=DAE
∴∠BAD=CAE
∵在ABDACE中,


∴△ABD≌△ACESAS

BD=CE

2α+β=180°
理由:∵△ABD≌△ACE
∴∠B=ACE
∴∠BCE=ACB+ACE=ACB+B
∵∠BAC+B+ACB=180°
∴∠BAC+BCE=180°
α+β=180°

3)∵△ABD≌△ACE
∴∠B=ACEBD=CE

∵∠BAC90°ABAC

∴∠B=ACE=ACB=45°

∴△BCF是等腰直角三角形,

BC=FC

BC-BD=FC-CE,即EFDC.

故答案为:(1BD=CE,理由见解析;(2α+β=180°,理由见解析;(3)见解析.

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