题目内容

如图，已知抛物线y=- $数学公式$ x²+bx+c与坐标轴交于A，B，C三点，点A的横坐标为-1，过点C（0，3）的直线y=- $数学公式$ x+3与x轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，PH⊥OB于点H．若PB=5t，且0＜t＜1．
（1）确定b，c的值；
（2）写出点B，Q，P的坐标（其中Q，P用含t的式子表示）；
（3）依点P的变化，是否存在t的值，使△PQB为等腰三角形？若存在，求出所有t的值；若不存在，说明理由．

解：（1）已知抛物线过A（-1，0）、C（0，3），则有：
$\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ，
因此b= $\text{[math]}$ ，c=3；

（2）令抛物线的解析式中y=0，则有- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x+3=0，
解得x=-1，x=4；
∴B（4，0），OB=4，
因此BC=5，
在直角三角形OBC中，OB=4，OC=3，BC=5，
∴sin∠CBO= $\text{[math]}$ ，cos∠CBO= $\text{[math]}$ ，
在直角三角形BHP中，BP=5t，
因此PH=3t，BH=4t；

∴OH=OB-BH=4-4t，
因此P（4-4t，3t）．
令直线的解析式中y=0，则有0=- $\text{[math]}$ x+3，x=4t，
∴Q（4t，0）．

（3）存在t的值，有以下三种情况
①如图1，当PQ=PB时，

∵PH⊥OB，则QH=HB，
∴4-4t-4t=4t，
∴t= $\text{[math]}$ ，
②当PB=QB得4-4t=5t，
∴t= $\text{[math]}$ ，
③当PQ=QB时，在Rt△PHQ中有QH²+PH²=PQ²，

∴（8t-4）²+（3t）²=（4-4t）²，
∴57t²-32t=0，
∴t= $\text{[math]}$ ，t=0（舍去），
又∵0＜t＜1，
∴当 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 时，△PQB为等腰三角形．
分析：（1）将A、C的坐标代入抛物线中即可求得待定系数的值．
（2）根据抛物线的解析式可求得B点的坐标，即可求出OB，BC的长，在直角三角形BPH中，可根据BP的长和∠CBO三角函数求出PH，BH的长，进而可求出OH的长，也就求出了P点的坐标．Q点的坐标，可直接由直线CQ的解析式求得．
（3）本题要分情况讨论：
①PQ=PB，此时BH=QH= $\text{[math]}$ BQ，在（2）中已经求得了BH的长，BQ的长可根据B、Q点的坐标求得，据此可求出t的值．
②PB=BQ，那么BQ=BP=5t，由此可求出t的值．
③PQ=BQ，已经求得了BH的长，可表示出QH的长，然后在直角三角形PQH中，用BQ的表达式表示出PQ，即可用勾股定理求出t的值．
点评：本题考查了二次函数的确定以及等腰三角形的判定等知识点．要注意的是（3）题中在不确定等腰三角形的腰和底的情况下腰分类讨论，不要漏解．