Question

如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BA=5，点P是AC上的动点（P不与A、C重合），设PC=x，点P到AB的距离为y．

（1）求y与x的函数关系式；
（2）试确定Rt△ABC内切圆I的半径，并探求x为何值时，直线PQ与这个内切圆I相切？
（3）试判断以P为圆心，半径为y的圆与⊙I能否相切？若能，请求出相应的x的值；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）求出BC，证△AQP∽△ACB，得到

PQ

BC

=

AP

AB

，代入求出即可；
（2）求出正方形FIEC，推出IF=IE=CF=CE，求出半径，证四边形INQM是正方形，推出PE=PM，代入求出即可；
（3）根据相切两圆的性质求出PI、PE、IE，根据勾股定理得到方程，求出方程的解即可．

解答：解：（1）在△ABC中AB=5，AC=4，由勾股定理得：BC=3，
∵∠C=90°，PQ⊥AB，
∴∠C=∠PQA=90°，
∵∠A=∠A，
∴△AQP∽△ACB，
∴

PQ

BC

=

AP

AB

，
即

y

3

=

4-x

5

，
解得：y=-

3

5

x+

12

5

，
答：y与x的函数关系式是y=-

3

5

x+

12

5

．

（2）∵圆I是△ABC的内切圆，
∴BN=BF，CF=CE，AE=AN，∠IFC=∠IEC=∠C=90°，IE=IF，
∴四边形FIEC是正方形，
∴IF=IE=CF=CE，
∴3-IE+4-IE=5，
解得：IE=1，
∵∠INQ=∠IMQ=∠NQM=90°，IM=IN，
∴四边形INQM是正方形，
∴IN=MQ=IE=CE，
∵PE=PM，
∴PQ=PC=x=y，
即x=-

3

5

x+

12

5

，
∴x=

3

2

，
答：Rt△ABC内切圆I的半径是1，x为

3

2

时，直线PQ与这个内切圆I相切．

（3）以P为圆心，半径为y的圆与⊙I能相切．
理由是：连接PI过两圆的切点，
当两圆外切时，
PQ=y，PE=x-1，IE=1，PI=1+y，
由勾股定理得：1²+（x-1）²=(-

3

5

x+

12

5

+1)2
解得：x₁=

-13+15 5

8

，x₂=

-13-15 5

8

（舍去）
当两圆内切时，
PQ=y，PE=x-1，IE=1，PI=y-1，
由勾股定理得：1²+（x-1）²=（-

3

5

x+

12

5

-1）²，
解得：x=

1

4

．
答：以P为圆心，半径为y的圆与⊙I外切时，x=

-13+15 5

8

；内切时x=

1

4

．

点评：本题主要考查对勾股定理，相切两圆的性质，切线的性质，正方形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，切线长定理，三角形的内切圆与内心等知识点的理解和掌握，能综合运用性质进行推理是解此题的关键．