Question

已知：如图1所示，Rt△ABC与Rt△ADE中，∠ACB=∠AED=90°，AC=kBC，AE=kDE，点O为线段BD的中点．探索∠COE、∠ADE之间有怎样的数量关系，证明你的结论．
（1）点E在CA延长线上（如图2）；
（2）k=1，点E在CA延长线上（如图3）．

Answer 1

证明：如图1，取AD、AB中点M、N，连接EM、MO、ON、CN，AD与EO
相交于点F，则：
EM=DM=MA，CN=AN=BN
∴∠AME=2∠ADE，∠ANC=2∠ABC
∵O为BD中点
∴OM=AN=CN，OM‖AN，ON=AM=EM，ON‖AD
∴四边形ANOM为平行四边形
∴∠AMO=∠ANO，∠AFE=∠NOE
∵∠ACB=∠AED=90°，AC=kBC，AE=kDE
∴Rt△ABC∽Rt△ADE
∴∠ADE=∠ABC
∴∠AME=∠ANC
∴∠EMO=∠ONC
∴△EMO≌△ONC
∴∠NOC=∠MEO
∵∠AFE=∠AME+∠MEO
∠NOE=∠COE+∠NOC
∴∠COE=∠AME
∴∠COE=2∠ADE

选择条件（1）
证明：延长EO交CB的延长线于点F，
∵∠ACB=∠AED=90°
∴ED∥CF
∴∠DEO=∠F，∠EDO=∠FBO
∵O为BD中点
∴DO=BO
∴△EDO≌△FBO
∴ED=FB，EO=FO
∵∠ACB=90°
∴CO=OF=EO
∴∠F=∠OCF
∴∠COE=∠F+∠OCF=2∠F
∵AC=kBC，AE=kDE
CE=AC+AE，CF=BC+BF
∴EA：CE=ED：CF=1：（K+1）
∵∠ACB=∠AED=90°
∴△EAD∽△CEF
∴∠ADE=∠F
∴∠COE=2∠ADE

选择条件（2）
证明：延长EO交CB的延长线于点F
∵∠ACB=∠AED=90°AE=DE
∴ED‖CF，∠ADE=45°
∴∠DEO=∠F，∠EDO=∠FBO
∵O为BD中点
∴DO=BO
在△EDO和△FBO中，
，
∴△EDO≌△FBO
∴ED=FB，EO=FO
∵AC=BC，AE=DE
∴CE=CF
∴CO⊥EF
∴∠COE=90°
∴∠COE=2∠ADE．
分析：（1）取AD、AB中点M、N，连接EM、MO、ON、CN，AD与EO相交于点F，先证明Rt△ABC∽Rt△ADE，然后证明△EMO≌△ONC即可证明；
（2）延长EO交CB的延长线于点F，证明△EDO≌△FBO，ED=FB，EO=FO，由AC=BC，AE=DE，可得CE=CF，从而CO⊥EF，可得∠COE=90°，可得∠COE=2∠ADE．
点评：本题考查了相似三角形及全等三角形的判定与性质，难度较大，关键是掌握相似三角形及全等三角形的判定与性质．