Question

已知，如图1所示，直线PA与x轴交于点A，与y轴交于点C（0，2），且S_△AOC=4，直线BD与x轴交于点B，与y轴交于点D，直线PA与直线BD交于点P（2，m），点P在第一象限，连接OP．
（1）求点A的坐标；
（2）求直线PA的函数表达式；
（3）求m的值；
（4）若S_△BOP=S_△DOP，请你直接写出直线BD的函数表达式．

Answer 1

解：（1）∵点C（0，2），S_△AOC=4，
而S_△AOC=AO•OC，
∴AO=4，
∴点A的坐标为（-4，0）；

（2）设直线PA的解析式为y=kx+b，
则有，
解之得，
∴直线PA的解析式为y=x+2；

（3）∵点P（2，m）在直线PA上，
∴m=×2+2，
∴m=3；

（4）解：∵S_△BOP=S_△DOP，△BOP的边BP上的高和△DOP的边DP上的高相同，
∴PD=PB，
即P为BD中点，
过P作PM⊥OB于M，PN⊥OD于N，
则PM∥OD，PN∥OB，
∴OM=BM，ON=DN，
∴OD=2PM，OB=2PN，
∵P（2，3），
∴PM=3，PN=2，
∴OD=6，OB=4，
即D（0，6），B（4，0），
设直线BD的解析式是y=kx+b，
则，
解得：k=-，b=6，
∴直线BD的解析式为y=-x+6．
分析：（1）由于点C（0，2），且S_△AOC=4，利用三角形的面积公式可以求出AO的长度，然后就可以求出点A的坐标；
（2）由于直线PA经过A、C，利用待定系数法即可确定直线PA的函数表达式；
（3）由于直线PA与直线BD交于点P（2，m），直接把P（2，m）代入直线PA的解析式中即可求出m的值；
（4）由于S_△BOP=S_△DOP，由此得到P是BD的中点，由此可以确定D的坐标，然后就可以确定直线BD的函数表达式．
点评：此题主要考查了一次函数的图象和性质，也考查了三角形的面积公式及待定系数法确定函数的解析式，解题时首先利用三角形的面积公式确定点的坐标，然后利用待定系数法确定函数的解析式即可解决问题．