Question

如图，在Rt△OAB中，∠OBA=90°，OB=AB=4，将△OAB绕点O沿逆时针方向旋转90°得到△OA₁B₁．
（1）线段OB₁的长是

4

，∠A₁OB的度数是

135°

；
（2）连接BB₁，求证：四边形OBB₁A₁是平行四边形；
（3）求四边形OBB₁A₁的面积．

Answer 1

分析：（1）根据旋转的性质得出BO=B₁O，∠BOB₁=90°，再根据角之间的关系得到∠A₁OB的度数；
（2）根据旋转的性质易得A₁B₁=AB，∠OA₁B₁=∠A₁OA=90°，从而证明四边形OAA₁B₁是平行四边形．
（3）利用平行四边形的面积计算公式可得答案．

解答：（1）解：根据旋转可得：
BO=B₁O，∠BOB₁=90°，
∵OB=4，
∴BO=B₁O=4，
∵∠OBA=90°，OB=AB=4，
∴∠AOB=45°，
根据旋转可得∠AOB=∠A₁OB₁=45°，
∴∠A₁OB=45°+90°=135°；

（2）证明：∵∠BOB₁=90°，∠A₁B₁O=90°，
∴A₁B₁∥OB，
∵A₁B₁=AB=BO，
∴四边形OBB₁A₁是平行四边形；

（3）解：∵BO=B₁O=4，
∴四边形OBB₁A₁的面积为：4×4=16．

点评：此题主要考查了旋转的性质，以及平行四边形的判定与面积计算，关键是旋转前后对应角相等，对应边相等．