Question

【题目】如图，在菱形ABCD中，点E、F在对角线AC上，且AE＝CF，

（1）证明：△ABE≌△ADE；

（2）证明：四边形BFDE是菱形；

（3）若AC＝4，BD＝8，AE＝，请求出四边形BFDE的面积．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）.

【解析】

（1）根据菱形的性质可得AB＝AD，∠BAE＝∠DAE，再利用SAS证明△ABE≌△ADE即可；（2）连接BD，交AC于O，易证OB＝OD，EF⊥BD，OE＝OF，根据对角线互相垂直平分的四边形为菱形即可判定四边形BFDE是菱形；（3）根据已知条件求得EF的长，再由菱形的面积为两条对角线乘积的一半即可求得四边形BFDE的面积．

（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝AD，∠BAE＝∠DAE，

在△ABE和△ADE中， ，

∴△ABE≌△ADE（SAS）；

（2）证明：连接BD，交AC于O，如图所示：

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，

∴EF⊥BD，

∴AE＝CF，

∴OE＝OF，

∴四边形BFDE是菱形；

（3）解：∵AC＝4，AE＝，AE＝CF，

∴EF＝AC﹣2AE＝4﹣2＝2，

由（2）知：四边形BFDE是菱形，

∴四边形BFDE的面积＝EF×BD＝×2×8＝8．