题目内容

某校研究性学习小组在研究有关二次函数及其图象性质的问题时,发现了两个重要的结论:一是发现抛物线y=ax2+2x+3(a≠0),当实数a变化时,它的顶点都在某条直线上;二是发现当实数a变化时,若把抛物线y=ax2+2x+3的顶点的横坐标减少,纵坐标增加,得到A点的坐标;若把顶点的横坐标增加,纵坐标增加,得到B点的坐标,则AB两点一定仍在抛物线y=ax2+2x+3上.

(1)请你协助探求实数a变化时,抛物线y=ax2+2x+3的顶点所在直线的解析式;

(2)问题(1)中的直线上有一个点不是该抛物线的顶点,你能找出它来吗?并说明理由;

(3)在他们第二个发现的启发下,运用“一般——特殊——一般”的思想,你还能发现什么?你能用数学语言将你的猜想表述出来吗?你的猜想成立吗?若能成立,请说明理由.

答案:
解析:

  (1)当时,的顶点坐标为;当时,的顶点坐标为

  设抛物线的顶点在直线上,将代入,得

  解得

  即抛物线的顶点在直线上.

  (或由抛物线的顶点坐标为,得其顶点在直线上)

  (2)直线上有一个点(0,3)不是抛物线的顶点.

  抛物线的顶点坐标为

  当a≠0时,顶点横坐标≠0.∴点(0,3)不是抛物线的顶点.

  (3)得出猜想:对于抛物线(a≠0),将其顶点的横坐标增加或减少,纵坐标增加,所得到的两个点一定仍在抛物线上.(其他猜想,只要合理也对)

  理由:∵抛物线的顶点坐标为

  ∴将其横坐标减少,纵坐标增加,得

  同理可得.把代入

  得

  ∴点A在抛物线上.同理可证点B在抛物线上.

  ∴所提出的猜想能够成立.(此问题可利用的形式进行证明,过程同上)


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