题目内容

如图，已知抛物线，y=ax²+bx+c经过A（2，0）．B（3．-3）及原点O．顶点为C．
（l）求抛物线的解析式及顶点C的坐标；
（2）点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点D的坐标；
（3）P是抛物线上第三象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，清说明理由．

解：（1）∵抛物线过原点O，
∴可设抛物线的解析式为y=ax²+bx，
将A（2，0），B（3，-3）代入，得
$\text{[math]}$

，
解得 $\text{[math]}$ ，
故抛物线的解析式为：y=-x²+2x，
则y=-x²+2x=-（x²-2x）=-（x-1）²+1，
故C点坐标为：（1，1）；

（2）如图1，①当AO为边时，
∵以A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形．
∴DE∥AO，且DE=AO=2．
∵点E在对称轴x=1上，
∴点D的横坐标为-1或3．
即符合条件的点D有两个，分别记为D₁，D₂．
而当x=-1时，y=-3当x=3时，y=-3
则D₁（-1，-3），D₂（3，-3），
②当AO为对角线时，则DE与AO互相平分．
又点E在对称轴上，且线段AO的中点横坐标为1，
由对称性知，符合条件的点D只有一个，即顶点C（1，1），
综上所述，符合条件的点D共有三个，分别为（-1，-3），（3，-3），（1，1）；

（3）存在，
如图2，∵B（3，-3），C（1，1）根据勾股定理得：
BO²=18，CO²=2，BC²=20．
∴BO²+CO²=BC²．
∴△BOC是以∠BOC为直角的直角三角形．

假设存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形与Rt△BOC相似．
设P（x，y），由题意知x＜0，y＜0且y=-x²+2x，
①若△AMP∽△BOC，
则 $\text{[math]}$ ．
$\text{[math]}$ ，
则3x²-5x-2=0，
解之得 $\text{[math]}$ ，x₂=2（舍去）．
当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，即点P（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）
②若△PMA∽△BOC，
则 $\text{[math]}$ ．
$\text{[math]}$
则x²+x-6=0
解之得x₁=-3，x₂=2（舍去）．
当x=-3时，y=-15，即点P（-3，-15）．
综上所述，符合条件的点P有两个，分别是P₁（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），P₂（-3，-15）．
分析：（1）通过抛物线过原点O，可设抛物线的解析式为y=ax²+bx，再根据待定系数法就可以求出抛物线的解析式；
（2）①当OA为边时，根据E在x=1上，能求出D的横坐标，根据平行四边形性质求出D的坐标即可；
②OA为对角线时，根据平行四边形的对角线互相平分，求出D和C重合，进一步求出E的坐标；
（3）设P（x，y），由题意知x＜0，y＜0且y=-x²+2x，可得P（x，-x²+2x），根据勾股定理的逆定理求出直角三角形BOC，根据相似三角形的性质，得出比例式，代入求出即可．
点评：本题考查了二次函数的综合，用待定系数法求二次函数的解析式、相似三角形的性质、勾股定理的逆定理、平行四边形的判定等知识点的应用，此题综合性比较强，有一定的难度，对学生提出较高的要求．注意：不要漏解，分类讨论思想的巧妙运用．