Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，过点B做射线BB1∥AC，动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C出发沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动，过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，连接DF，设运动的时间为t秒（t＞0）．

（1）当t为________时，AD=AB，此时DE的长度为________；

（2）当△DEF与△ACB全等时，求t的值；

（3）以DH所在直线为对称轴，线段AC经轴对称变换后的图形为A′C′．

①当t＞时，设△ADA′的面积为S，直接写出S关于t的函数关系式；

②当线段A′C′与射线BB1有公共点时，求t的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）2，2；（2）t=6；（3）①S=12t2；② .

【解析】试题分析：(1)、根据Rt△ABC的勾股定理求出AB=10，根据AD=AB得出t的值，根据题意求出CD的长度，然后根据DE=CE-CD求出答案；(2)、首先根据题意得出四边形BCEF为矩形，分两种情况：当AD＜AE时求出t的取值范围，然后根据△ACB和△DEF全等得出t的值；当AD＞AE时求出t的取值范围，然后根据△ACB和△DEF全等得出t的值；(3)、根据题意得出△ABC和△ADH相似，从而得出AH=3t，DH=4t，从而得出函数解析式；当点A'落在射线BB1上的点B时，AA'=AB=10，根据AA'=2AH=2×5t×cos∠A得出t的值；当点C'落在射线BB1上时，四边形ACC'B为平行四边形，根据CC'=2CD×cos∠A求出t的值，从而得出t的取值范围．

试题解析：解：（1）在Rt△ABC中，AC=6，BC=8，根据勾股定理得，AB==10，

由运动知，AD=5t， ∵AD=AB， ∴5t=10， ∴t=2，

∴CD=AD﹣AC=10﹣6=4，CE=3t=6， ∴DE=CE﹣CD=2，

(2)、解：∵∠ACB=90°，BB1∥AC，EF⊥AC， ∴四边形BCEF是矩形，EF=BC=8，

当AD＜AE时，5t＜6+3t， ∴0＜t＜3，

若DE=AC，△ACB≌△DEF，DE=AE﹣AD=6+3t﹣5t=6﹣2t， ∴6﹣2t=6， ∴t=0，

∵t＞0（不合题意，舍），

当AD＞AE时，5t＞6+3t， ∴t＞3，

若DE=AC，△ACB≌△DEF，DE=AD﹣AE=5t﹣6﹣3t=2t﹣6，

∴2t﹣6=6， ∴t=6， ∴当t=6时，△DEF与△ACB全等．

(3)、解：①如图，

∵∠ACB=∠AHD，∠BAC=∠DAH， ∴△ABC∽△ADH， ∴，

∴， ∴AH=3t，DH=4t， ∴S△ADA'=2S△ADH=2×AH×DH=AH×DH=12t2 ，

②当点A'落在射线BB1上的点B时，AA'=AB=10，

∵DH⊥AB， ∴AA'=2AH=2×5t×cos∠A=6t=10， ∴t=，

当点C'落在射线BB1上时，CC'∥AB， ∵BB1∥AC，∴四边形ACC'B为平行四边形，

∴CC'=AB=10， ∵CC'=2CD×cos∠A=2×（5t﹣6）×=（5t﹣6）， ∴t=，

∴≤t≤，线段A'C'与射线BB1有公共点．