题目内容
【题目】（1）如图1，在四边形
中，
，
，
分别是
上的点，且
，探究图中
之间的数量关系。小明同学探究此问题的方法是：延长
到点
，使
。连接
，先证明
，再证明
，可得出结论。他的结论应是______________________________________（不写过程）。
（2）如图2，若在四边形中，，
，分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由。
（3）如图3，已知在四边形中，，
，若点
在
的延长线上，点
在
的延长线上，仍然满足，请写出
与
的数量关系，并给出证明过程。
【答案】（1）
；（2）仍成立，见解析；（3）
，见解析
【解析】
（1）延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，利用SAS可判定△ABE≌△ADG，进而得出∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，再利用SSS判定△AEF≌△AGF，可得出∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF，据此得出结论；
（2）延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，利用SAS先判定△ABE≌△ADG，进而得出∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，再利用SSS判定△AEF≌△AGF，可得出∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF；
（3）在DC延长线上取一点G，使得DG＝BE，连接AG，利用SAS先判定△ADG≌△ABE，再利用SSS判定△AEF≌△AGF，得出∠FAE＝∠FAG，最后根据∠FAE+∠FAG+∠GAE＝360°，推导得到2∠FAE+∠DAB＝360°，即可得出结论．
（1）∠BAE+∠FAD＝∠EAF．理由：
如图1，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，
在
ABE和ADG中，
∴△ABE≌△ADG(SAS)，
∴EF=FG，AE=AG，
BAE=DAG
EF=BE+FD
∴EF=GD+FD=GF
在△EAF和△GAF中，
∴△AEF≌△AGF(SSS)，
∴∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF．
故答案为：∠BAE+∠FAD＝∠EAF；
（2）仍成立，
理由如下：如图，延长
到点
，使
，连接
、
B+ADF=180，又ADG+ADF=180,
∴B=ADG
在△ABE和△ADG中，
∴△ABE
△ADG(SAS)，
∴AE=AG，BAE=DAG，
EF=BE+FD
∴EF=GD+FD=GF
在△EAF和△GAF中，
∴△EAF△GAF(SSS)
∴EAF=GAF=BAE+FAD
∴
（3）
证明：如图，在
的延长线上取一点，使得，连接
ABC+ADC=180，又ABC+ABE=180,
∴ABE=ADG
在△ABE和△ADG中，
∴△ABE△ADG(SAS)，
∴AE=AG,
BAE=DAG,
EF=BE+FD
∴EF=GD+FD=GF
在△EAF和△GAF中，
∴△EAF△GAF(SSS)
∴ 
又
∴
∴
，
∴
∴
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