题目内容

如图（1），已知抛物线y=ax2+b与x轴交于A、B两点（A在B的左边），与y轴交于点M，点B的坐标为（4，0），点M的坐标为（0，-4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点N的坐标为（O，-3），作DN⊥y轴于点N，交抛物线于点D；直线y=-5垂直y轴于点C（0，-5）；作DF垂直直线y=-5于点F，作BE垂直直线y=-5于点E．
①求线段的长度：MC=______，MN=______；BE=______，BN=______；DF=______，DN=______；
②若P是这条抛物线上任意一点，猜想：该点到直线y=-5的距离PH与该点到N点的距离PN有怎样的数量关系？
（3）如图（2），将N点改为抛物线y=x2-4x+3对称轴上的一点，直线y=-5改为直线y=m（m＜-1），已知对于抛物线y=x2-4x+3上的每一点，都有该点到直线y=m的距离等于该点到点N的距离，求m的值及点N的坐标．
（1）∵抛物线y=ax2+b与x轴交于A、B两点，点B的坐标为（4，0），与y轴交于点M，点M的坐标为（0，-4），
代入得：
0=16a+b
-4=b
，
解得：a=
1
4
，b=-4，
∴y=
1
4
x2-4，
答：抛物线的解析式为y=
1
4
x2-4．

（2）①MC=5-4=1，MN=4-3=1，BE=|-5|=5，BN=
32+42
=5，DF=1+1=2，
y=-3代入抛物线的解析式得：-3=
1
4
x2-4，
∵x＞0，
∴x=2，
DN=2，
故答案为：1，1，5，5，2，2．

②由①可知：抛物线上每一点到直线y=-5的距离与该点到N点韵距离相等，
∴PH=PN，
答：点到直线y=-5的距离PH与该点到N点的距离PN的数量关系是PH=PN．

（3）由y=x2-4x+3得：
B点坐标为（3，0），顶点M坐标为（2，-1），
作BE垂直直线y=m于点E，
抛物线上每一点都有该点到直线y=m的距离等于该点到点N的距离，
∴BN-BE=-m，GN=2+m，
在Rt△BNG中，BN2=GN2+BG2，
解得m=-
5
4
，
GN=
3
4
，
∴m的值为-
5
4
，点N的坐标为（2，-
3
4
），
答：m的值为-
5
4
，点N的坐标为（2，-
3
4
）．
练习册系列答案
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已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么这个函数的解析式为（　　）
A．y=
1
3
x2+
2
3
x+1		B．y=
1
3
x2+
2
3
x-1
C．y=
1
3
x2-
2
3
x-1		D．y=
1
3
x2-
2
3
x+1
如图，在平面直角坐标系xOy中，AO=8，AB=AC，sin∠ABC=
4
5
．CD与y轴交于点E，且S△COE=S△ADE．已知经过B，C，E三点的图象是一条抛物线，求这条抛物线对应的二次函数的解析式．
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3
2
，-
7
4
）的直线y=kx+b与x轴、y轴的交点分别为A、B，且经过第一、三、四象限，它与抛物线y=x2-4x+3只有一个公共点．
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请根据以上图案回答下列问题：
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x…-2-1012…
y…04664…
从上表可知，下列说法中正确的是______．（填写序号）
①抛物线与x轴的一个交点为（3，0）；②函数y=ax2+bx+c的最大值为6；
③抛物线的对称轴是直线x=
1
2
；　　　④在对称轴左侧，y随x增大而增大．

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