Question

已知：关于x的一元二次方程x²-（m²+2）x+m²+1=0（m≠0）．
（1）证明：方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两个实数根分别为x₁，x₂，（其中x₁＜x₂）．若y是关于m的函数，且y=x₂-2x₁-1，求这个函数关系式．

Answer 1

（1）证明：△=（m²+2）²-4（m²+1）
=m⁴，
∵m≠0，
∴m⁴，＞0，
∴△＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解：x²-（m²+2）x+m²+1=0（m≠0），
（x-m²-1）（x-1）=0，
∴x₁=1，x₂=m²+1，
∴y=m²+1-2-1
=m²-2．
分析：（1）先根据判别式的值得到=m⁴，由于m≠0，根据非负数的性质得到△＞0，然后根据判别式的意义即可得到结论；
（2）利用因式分解法得到x₁=1，x₂=m²+1，然后把它们代入y=x₂-2x₁-1即可．
点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了因式分解法解一元二次方程．