题目内容
【题目】将一副直角三角板如图①摆放，能够发现等腰直角三角板ABC的斜边与含30°角的直角三角板DEF的长直角边DE重合．DF=8．
（1）若P是BC上的一个动点，当PA=DF时，求此时∠PAB的度数；
（2）将图①中的等腰直角三角板ABC绕点B顺时针旋转30°，点C落在BF上，AC与BD交于点O，连接CD，如图②．
①求证：AD∥BF；
②若P是BC的中点，连接FP，将等腰直角三角板ABC绕点B继续旋转，当旋转角α= 时，FP长度最大，最大值为 （直接写出答案即可）．
【答案】（1）∠PAB的度数为15°或75°；
（2）①见试题解析；
②210°，16+4
．
【解析】
试题分析：（1）利用锐角三角函数求出∠APH，然后分两种情况计算即可；
（2）①作出AM⊥BC，DN⊥BC，得到AM∥DN，在计算出AM，DN，得到AM=DN，出现平行四边形AMND，②先判断出PF最大时，点P落在FB的延长线上，再求解即可．
如图1，
D，
试题解析：（1）作AH⊥BC于H，∴AH=
BC，∵DF=8，∠DEF=30°，∴BC=DE=
=8，
∴AH=4，当PA=DF=8时，sin∠APH=
=
，∴∠APH=60°，
①∵∠ABC=45°，∠AP1H=60°，∴∠BAP1=∠AP1H﹣∠ABC=15°，
②∵∠ACB=45°，∠AP2H=60°，∴∠CAP2=∠AP2B﹣∠ACB=15°，
∵∠BAC=90°，∴∠BAP2=90°﹣∠CAP2=75°；∴∠PAB的度数为15°或75°；
（2）①如图2作AM⊥BC，DN⊥BC，在Rt△ABC中，AB=AC，BC=8，
∴AM=BC=×8=4，在Rt△BCF中，∠F=60°，DF=8，∴DN=DF×sin∠F=8×
=4，
∴AM=DN，∵AM∥DN，∴四边形AMND是平行四边形，∴AD∥BC；
②∵P是BC的中点，且FP长度最大，则有点F，B，P在同一条直线上，
即：点P在FB的延长线上，
∴BC边旋转180°，
∵∠CDF=30°，
∴旋转角α=210°，
∵P是BC的中点，BC=8，
∴BP=4，
∵BF=2DF=16，
∴FP=16+4，
故答案为210°，16+4．
