题目内容
【题目】如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的特异线，称这个三角形为特异三角形．
（1）如图1，△ABC是等腰锐角三角形，AB=AC(
)，若∠ABC的角平分线BD交AC于点D，且BD是△ABC的一条特异线，则∠BDC=______度；
（2）如图2，△ABC中，∠B=2∠C，线段AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E．求证：AE是△ABC的一条特异线；
（3）如图3，已知△ABC是特异三角形，且∠A=30°，∠B为钝角，求出所有可能的∠B的度数（如有需要，可在答题卡相应位置另外画图）．
【答案】（1）72° （2）证明见解析；（3）135°或112.5°或140°．
【解析】试题分析：（1）只要证明△ABE，△AEC是等腰三角形即可．（2）如图2中，当BD是特异线时，分三种情形讨论，如图3中，当AD是特异线时，AB=BD，AD=DC根据等腰三角形性质即可解决问题，当CD为特异线时，不合题意．
试题解析：（1）证明：如图1中，
∵DE是线段AC的垂直平分线，
∴EA=EC，即△EAC是等腰三角形
∴∠EAC=∠C，
∴∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C，
∵∠B=2∠C，
∴∠AEB=∠B，即△EAB是等腰三角形，
∴AE是△ABC是一条特异线．
（2）如图2中，
当BD是特异线时，如果AB=BD=DC，则∠ABC=∠ABD+∠DBC=120°=15°=135°，
如果AD=AB，DB=DC，则∠ABC=∠ABD+∠DBC=75°+37.5°=112.5°，
如果AD=DB，DC=CB，则∠ABC=∠ABD+∠DBC=30°+60°=90°（不合题意舍弃）．
如图3中，当AD是特异线时，AB=BD，AD=DC，则∠ABC=180°-20°-20°=140°
当CD为特异线时，不合题意．
∴符合条件的∠ABC的度数为135°或112.5°或140°．
